《单位圆与诱导公式》课堂实录及反思

——济源四中   陈峰

教学内容：高中数学必修4第四章第三节《单位圆与诱导公式》

授课班级：高级中学高一六班

课时：第一课时

授课、实录整理、反思：济源四中陈峰

教学目标

1、根据已知知识探究未知领域

2、会用诱导公式求较大角的三角函数

［反思］因为本节课是学生课间操后的一节课，学生跑操刚结束，个个满头大汗，为了让学生放松心情，缓解跑操后的热情，我请本班的文娱委员领喝一支歌，文娱委员让全体同学起立，同学们齐喝了《阳光总在风雨后》，唱毕开始授课。

师：大家先看这样一个问题：求SIN（－7π/4）的值？以前我们学过π/4的正弦

生：SINπ/4= /2

师：我们先思考SIN（-7π/4）与SINπ/4有什么关系呢，能不能用SINπ/4来表示SIN（-7π/4呢？这就是我们今天所学的内容《单位圆与诱导公式》（同时板书标题）。在求值之前，我们来回顾单位圆下如何给出三角函数的定义。

假设角α终边与单位的交点P（u,v）则SINα，COSα的值分别是什么？

［反思］以此引入新课，旨在激起同学们求知的欲望，从学生的表现可以看出，效果较好。

生：SINα= v，COSα= u

师：很好！有了这个定义后，我们再来看－7π/4与π/4的终边有什么关系？为了了解这一关系，我们先看角α与－α的终边有什么关系？

［反思］通过设计由浅入深的问题，层层深入，引导学生思考，教给学生学习方法。

生1：关于X轴对称

师：那我们就可以写出与点P对称的点M的坐标

生1：（u,－v）

师：有了点M 的坐标，再结合三角函数的定义，那SIN（－α），COS（－α）的值分别是什么？

［反思］引导学生在解决新问题时，充分调动所学知识，逐步培养学生利用所学的知识探索新知的能力。

生2：SIN（－α）=－v，COS（－α）= u

师：据此我们不难看出角α与-α的正弦与余弦分别是什么关系？

生3：正弦值互为相反，余弦值相等。

师：同时板书：SIN（－α）= －SINα，COS（－α）=COSα

师： SIN（－7π/4）=什么呢？

生4：SIN（－7π/4）=－SIN（7π/4）= －SIN（2π－π/4）= SINπ/4= /2，

师：OK，我们借助于单位圆和三角函数的定义得到了角－α与α的三角函数之间的关系，我们还有这样一种关系：（在黑板上的单位圆中画出与角α终边ＯＰ关于原点对称的另一个角的终边ＯＮ）能否找出点Ｍ的坐标及终边ＯＮ所对应的角与角α的关系？

［反思］用类比的方法，同样给出的另一种对称关系的问题，让同学们自由探究，培养同学探索新知的能力。

生5：（提问）点Ｍ的坐标为（－u,－v），终边ＯＮ所对应的角为α＋π。

师：太棒了，接下来请大家求出ＳＩＮ（α＋π），ＣＯＭ（α＋π）的值，并观察与与SINα，COSα的有什么关系？两分钟思考时间，开始！请卫启超同学回答。

［反思］因为是借班上课，更是借校上课，对学生的情况一点不了解，无意间发现，本校学生大多佩戴胸卡，胸卡上有学生的基本信息，所以就利用好这一信息，来拉近学生的关系。

生6：ＳＩＮ（α＋π）＝－v＝－SINα

ＣＯＭ（α＋π）＝－u,＝－COSα

师：刚才我们把OＮ看作了由OP按逆时针方向旋转π个弧度得到了，如果按顺时针旋转，那么OＮ所对的角为多少弧度？

生7：α－π

师：ＳＩＮ（α－π），ＣＯＭ（α－π）分别是多少呢？

生8：ＳＩＮ（α－π）＝－SINα，ＣＯＭ（α－π）＝－COSα（师同时板书）

师：刚才的第一个是关于什么对称的，第二个又是关于什么对称的，在单位圆中还少什么对称？

生9：第一个关于Ｘ轴对称，第二个关于原点对称，还少一个关于Ｙ轴对称。

师：那好，下面我们就研究ＯＰ关于Ｙ轴对称的终边所对的角与角α的正、余弦的关系，请同学们自己探索然后相互交流，先提出一问题，然后逐步解答，五分钟后请小组学生代表发表结论。开始。

生10：我们提了两个问题，分别是１、点Ｑ的坐标为多少？２、以ＯＰ关于Ｙ轴对称的直线ＯＱ作为角的终边，则该角为多少，此角的正弦、余弦分别是多少？（师同时板书）

生10：１、Ｑ（—u,v），２、π－α，ＳＩＮ（π－α）＝v，ＣＯＳ（π－α）＝—u

（师同时板书ＳＩＮ（π－α）＝v，ＣＯＳ（π－α）＝—u）

师：与ＳＩＮα，ＣＯＳα什么关系？

生：ＳＩＮ（π－α）＝ＳＩＮα，ＣＯＳ（π－α）＝—ＣＯＳα（同时板书）。

［反思］引导学生自己动手、动脑、动口，提出问题解决问题，从而培养学生严谨的思维习惯和合作学习的能力。

师：我找两名同学在黑板上求ＣＯＳ（－３１π/６）的值，其他同学在练习本上演算时间为５分钟，开始。

师：请李梦姣同学点评黑板上的两个做法

生11：两个同学分别用了不同的方法，但结果都是正确的，第二个同学先把负角转化成了正角，然后再把其化成了锐角，而第一个同学是直接把共化成了锐角。

师：上面两个同学其实给出了我们求较大或较小角的三角函数值的不同的算法。为了便于我们操作用，大家试着用简练的语言设计求较大或较小角的三角函数值的算法。大家可以相互交流。

生12：大家纷纷发表自己的观点。

师：大家总结的非常好，下面我给大家一个算法，也就是：负化正、大化小、一直化到特殊角。（大家听后肃然起敬，听课的老师眼前一亮）这就是今天我们学习诱导公式的作用和功能。我们接下来再计算出ＣＯＳ（－28π/3）的值，时间两分钟，开始。

［反思］没有充分发挥前两道题的作用，又重新设计了一道题，如果把前两个角的正、余弦互换一下就可以由两道变为四道，再把负角变成正角，就会变出多种花样，这样既可以让学生熟练使用公式，也可以让学生通过三角函数名的变化理解诱导公式。以后教学过程中，要充分发挥变式、变题的作用，用其揭示问题的内在联系，真正可以使学生以不变应万变，达到举一反三、触类旁通。从而能让学生跳出题海，养成良好的思维习惯。

师：请大家评价一下她的正、误？是否做到了负化正、大化小、一直化到特殊角。

生：做到了

师：今天我们的学习目标有下面两个，1、根据已知知识探究未知领域；2、会用诱导公式求较大角的三角函数。对照这两个目标自查达标程度。（1分钟）好现在大家回过头，再来回忆刚才那位男同学在求ＣＯＳ（－３１π/６）的值时，一个小小的细节，他后来把擦掉了，很宝贵的资源被“破坏”了，也就是他化到ＣＯＳπ/６时，没及时得到结果，遇到了障碍，请这位同学说说他的障碍是什么？

［反思］出示学习目标，让学习自查达标情况。每节课都必须有学习目标，并且是知识与能力，过程与方法，情感、态度与价值观三维目标，目标出示时间应根据学生对教学内容的熟悉程度而定，新授课可以在学习新知后出示，复习课可以在课前出示，……。目标出示的内容，既要出示知识与能力目标，使学生清楚一节课应学到哪些知识，培养哪些技能，又要出示过程与方法目标，使学生明白一节课通过什么方法得到了新知识从而教会学生学习，至于情感、态度和价值观目标可以不出示，这一目标是在教学过程中师生的互动逐步渗透的，是一种潜移默化的过程，不是老师用言语可以达到的。

生13：一时想不起π/６的角度是多少，还有就是把30度的正弦值给忘记了。

师：那谁能帮其排除这两个障碍，请思考？

生14：弧度与角度的互化180度=π弧度，记牢特殊角的三角函数。

师：这位同学分析的好吗？

生：好——！

［反思］这一问题的出现，完全出乎意料，但又在情理之中，在教学之初，没有设计这一环节，不料学生把问题暴露的淋漓尽致，纯属意外生成。所以这就需要老师采取一些手段来处理课堂上随机生成的问题，我认为老师在处理随机生成的问题时，可采用以下方法：1、课堂上留些处理生成问题的时间，不必预设在满；2、教师必须具备一定的专业素质，能够解决生成题；3、教师必须有驾驶课堂的能力，以便处理突发事件。如果以上达不到也可以采用以下方法：留到课下处理或下节课前处理。总之不能为此而耽误本节课的教学任务和教学进度。

另外，从帮学生解决问题的过程中，让学生明确“知识是靠理解不是靠死记”的道理。

师：但我觉得把特殊角的三角函数值记牢可不是一件简单的事，下面我给大家提供一个我认为比较快捷的方式，也就是借助直角三角形和初中我们学的三角函数的定义，这样我们就不会弄错或弄混他们的值了，请大家遇到时不妨一试。好，接下来请大家打开课本18页，在练习本上做第一小题，请两名同学，一个求正弦，另一个求余弦并板书在黑板上，下面的同学做完后相互对照发现对方的优、缺点。

［反思］通过本次活动，在只有教材的情况，要想上好一节课，既要求教师必须有高深的专业知识，还要求教师有驾驭课堂的应变能力。所以在平时的教学过程中，特别是在备课过程中，就需要老师认真对待，不能支差应付，只有每节课这样要求自己，那样就能逐步提升自己。用苏氏的话就是：“为了上好一节课，你是一生都在准备。”

师：请同学总结一下你从本节课学到了什么？（思考片刻）

生15：我从本节课主要学习了三组诱导公式也就是

1、            SIN（－α）= －SINα，COS（－α）=COSα

2、ＳＩＮ（α＋π）＝－SINα，ＣＯＭ（α＋π）＝－COSα

ＳＩＮ（α－π）＝－SINα，ＣＯＭ（α－π）＝－COSα

３、ＳＩＮ（π－α）＝ＳＩＮα，ＣＯＳ（π－α）＝—ＣＯＳα

生１６：我从本节课学到如何借助单位圆和三角函数的定义得到三组诱导公式。

师：这两位同学说的太棒了，特别是第二位同学，不仅学会了诱导公式，而且学会了用已有知识获取新知。

［反思］教学的过程主要是教给学生学习方法，用苏氏的话说就是：教给学生如何借助已有的知识获取新知识，这是最高的教学技巧之所在。所以我在教学过程中主要是引导学生如何借助单位圆和三角函数的定义得到三组诱导公式。对于公式的内容和使用并不重要。

 

［反思］为了响应组委会的安排不影响领导的工作，在上课完后，真可谓废寝忘食，以最快的速度把课堂实录整理出来。但由于又得备课、又得上课、又得批改作业、又得晚自习辅导、又得开各种会议，时间实在太仓促了，难免会出现这样和那样的问题，只能这样了，请领导见谅。如果还有时间完善，那我会重新修改反思。现在有种如释重负的感觉！