一、分式方程解应用题教学反思

     我认为学好数学最好的方法是在发现中学习，在学生的再创造中学习，并引导学生去学习。教师想方设法为学生设计好的问题情景，同时给学生提供充分的思维空间，学生在参与发现和探索的过程中思维就会创在一个又一个的点上，这样的教学日积月累对于培养学生的创新意识和创新能力是有巨大的作用的。　

  　教学设计中教师要根据目的要求，内容多少，重点难点，学生的条件，以及教学设备等合理地分配教学时间。

    其次，要注意节省时间，特别是在讲授新知识时，要抓住重点，不能企图一下讲深讲透。要安排一定的练习时间。通过练习的反馈，再采取必要的讲解或补充练习。

    再次，要注意尽量安排全班学生的活动，如操作、练习巩固，解应用题等，避免由少数人代替全班学生的思维活动，使大多数学生成为旁观者。要注意在一节课内提高学生的平均做题率。此外，还要注意选择有效的练习方式和收集反馈信息的方式，以便节约教学时间，并能及时发现问题。

　　班级的学生有整体的特点，一定存在个体差异。如果要求每一个教学目标都人人过关，实属不智行为。效率是整体利益的平衡结果，不能因为个别同学目标未达成而牺牲整体的时间利益，这会造成新的教学问题。所以在集体教学时，把握大多数，将整体利益平衡好，这样的集体教学才是有效率可言的。

    当然教师在教学过程还是要关注每一位学生，关注其是否在听教师的讲解分析，以及自身是否在积极思考问题。千万不可只顾自己按照教案设计去讲，而忽视学生的思维。

    在本课的教学过程中，我认为应从这样的几个方面入手：  

   1. 分式方程和整式方程的区别：

    分清楚分式分式方程必须满足的两个条件

    ⑴方程式里必须有分式，⑵分母中含有未知数。

    这两个条件是判断一个方程是否为分式方程的充要条件。

    同时，由于分母中含有未知数，所以将其转化为整式方程后求出的解就应使每一个分式有意义，否则，这个根就是原方程的增根。

  由于分式方程与整式方程的区别，在解分式方程时必须进行检验。

  

   2．分式方程和整式方程的联系：

    分式方程通过方程两边都乘以最简公分母，约去分母，就可以转化为整式方程来解，教学时应充分体现这种化归思想的教学。

  

   3.  解分式方程时，如果分母是多项式时，应先写出将分母进行因式分解的步骤来，从而让学生准确无误地找出最简公分母 

 

   4．对分式方程可能产生增根的原因，要启发学生认真思考和讨论。

    增根的产生的原因：增根是在将方程式进行变形之后产生的情况，其实最严格的变形是不会产生增根的，因为定义域不发生变化，但一般情况下，方程在经过变形之后定义域发生了变化。如：(x+1)/(x-1)=0的定义域是x≠1，经过变形后得到的方程是(x+1)(x-1)=0，这个时候就将定义域扩大到了R，这就是造成增根的根本原因。
    简单地说，定义域的变化造成方程根的变化，计算过程将定义域扩大的话就造成增根，计算过程将定义域缩小的话就造成失根；不改变定义域的话根的情况就不会有变化。

 

     等式的基本性质1：等式两边同时加上（或减去）同一个代数式，所得结果仍使等式。   
    等式的基本性质2：等式两边同时乘同一个数（或除以一个不为0的数），所得结果仍使等式。

    定义：如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程。

　　又称“等值方程”、“等价方程”。如果两个方程的解集相等，则称它们为“同解方程”，或称这两个方程“同解”。

 

    理解分式方程产生增根的原因是本节课的难点，课堂的前5分钟，让学生尝试去解上节课留下的一个分式方程，学生们通过阅读教材，基本可以按步骤进行“去分母”化整式方程，然后求解，检验……

    教学进行到议一议时，我先抛出教材上的那个方程，让学生自己来解一遍试试，目的是想让他们自己发现问题。多数学生都能发现最后解得的根代回原方程之后，分母为零，没有意义，却不能说明到底是什么原因产生了这个增根。

    进一步引导学生观察刚才解方程的过程，特别强调等式基本性质中两边同时乘或除同一个不为零的整式，在进行两边同乘最简公分母这一步时，最简公分母是一个含字母的整式即代数式，而字母又可以代表任何实数，所以就导致了这个整式有可能为零，恰恰最终解得的这个未知数的值又使它为零，因此导致化成整式方程后的根并不是原分式方程的根。

     多数学生能够理解上述解释，但也有部分学生采用了不同的解法，出现了不同的问题，比如301班同学采用的做法：

               

   两个班均有出现这类解法的学生，明显这个结果是矛盾的，那么，这种解法出现增根的原因又在哪一步呢？

 

   观察它的解题过程，倒数第二步中，左边约分得到-1，等等！约分？约分用到的是分式基本性质，让学生回想分式基本性质，同样发现了分子分母同时乘或除以一个不为零的整式，分式值不变。那么，我们在这一步约分约掉的那个（x-2），从所得解的结果来看，恰恰是等于零的！所以，又产生了增根。不过在实际解分式方程的过程中，像上面解方程的学生比较少见，但无论哪一种解法，最终都有可能产生增根，所以进一步强调验根的必要性，而且验根的方法也各有不同，前者只需要代入两边同时乘的那个整式，而后者需要代入分母检验。

 

   5、初中阶段接触到的分式方程应用题类型大致主要有路程问题、工作量问题、每个问题一般都涉及到三个量，如路程问题涉及到路程、速度、时间，工作量问题涉及到工作量、工作时间工作效率

    例：从甲地到乙地的路程是15千米，A骑自行车从甲地到乙地先走，40分钟后，B骑自行车从甲地出发，结果同时到达。已知B的速度是A的速度的3倍，求两车的速度。

    分析：这是路程问题，涉及到两个研究对象即A、B；每个研究对象都涉及到“相同”三个量，并且这三个量满足关系式：速度*时间=路程。

    教学实践证明：这类问题最有效的解决办法是表格法，而且研究的对象越多、研究的量也越多时这种法就越奏效。要注意：

  （1）设“恰当”的未知数x，直接设未知数时表示数据不方便，完全可以间接设

  （2）题中已知量优先填入，后填与未知数x有关的各量。

  （3）根据题中或暗含的“未用”的一组“两个研究对象的相同量”的关系列出方程.（根据下面的举例仔细理解这句话的意思）

 

  设A的速度为x千米/分，则B的速度为3x千米/分，可列下述表格：

                     速度           时间             路程

        A            x               15/x            15

        B            3x               15/3x           15

据题中“两个研究对象A、B两人的相同量时间”关系可列方程得：

                        15/x  - 15/3x  =40

 应用题教学是九年义务教育的一个非常重要的教学内容，是培养学生分析问题和解决问题的一个非常重要的手段。但应用题阅读量大、建模难度高，学生往往无从下手。在实际的教学过程中，很多学生都很怕解应用题，很多学生看见应用题就有一种说不出的恐惧感。很多教师也是花了很多的精力来进行教学，但效果并不怎么理想。笔者在长期的教学过程中，总结出一种较为简便的分析、并求解应用题的方法，在实际的教学过程中，我试着运用表格分析法来进行应用题的教学，让学生有章可循，并取得了很好的效果。现以几道经典的分式方程应用题为例来进行说明，通过对这几个例题求解过程的理解，还可以进一步应用到其它类型的应用题的分析和求解。

   于是在列分式方程解应用题的教学中， 

一、教学案例展示

   例1、某校招生录取时，为了防止数据输入出错，2640名学生的成绩数据分别由两位程序操作员各向计算机输入一遍，然后让计算机比较两人的输入是否一致。已知甲的输入速度是乙的2倍，结果甲比乙少用2小时输完。问这两个操作员每分钟各能输入多少名学生的成绩？

   分析：题中涉及工作量、工作效率、工作时间三量关系，甲、乙两种状态。根据题意，设乙每分钟能输入x名学生的成绩，则甲每分钟能输入2x名学生的成绩，用表格分析问题。

 

步骤一：列出表格状态   甲  乙 

 

步骤二：依次填写表格信息

    表格的第一行填写题中最清晰的量，即工作量（甲、乙的工作量均为2640名学生）；表格的第二行填写题中所设的量，即工作效率（甲的工作效率是2x名/分钟，乙的工作效率是x名/分钟）；表格的第三列填写第三个量，即工作时间，数据则根据三量关系由第一、二行直接给出。（根据得，甲的工作时间是分钟，乙的工作时间是分钟）。于是得到表格如下：

	甲	乙
工作量	2640名学生的成绩数据	2640名学生的成绩数据
工作效率	2x名/分钟	x名/分钟
工作时间【分钟】	2640/2x	2640/x

 

步骤三：列等量关系式

   从上面表格的第三行中找等量关系，即找关于工作时间的等量关系。从题中不难找到：结果甲比乙少用2小时输完。即：甲时间=乙时间—2小时。于是得到等量关系式：

2640/2x =2640/x —2

 

 

例2:从2004年5月起某列车平均提速v千米/小时，用相同的时间，列车提速前行驶s千米，提速后比提速前多行驶50千米，提速前列车的平均速度为多少？

   1.分析题目中相关联的量和可比对象。不难难发现题中有:

    三类相关联的量：时间、速度、路程

    两个可比对象：列车提速前和列车提速后。

 

   2.列表。将相关联的量和可比对象作为表格的行和列，一般将相关量作为行，可比对象作为列

 

   3.设未知数。可以直接设未知数也可以间接设未知数。根据题目中的已知来设立合理的未知量，本题中已知路程，可以间接设时间也可以直接设提速前的速度。设未知数的时候既要带单位，还要统一单位，强调单位不同方程会不同。

   4.填表。分析题目中的已知，用所设未知数来表示表格中可以表示的量 。

   5.分析等量关系。根据题目意思可能有多个等量关系。

 

   本题中解法一：设提速前的平均速度为x千米/时，填入已知量速度和路程，时间可由速度和路程求出（见下表）。

 

 

	速度（千米/时）	路程（千米）	时间（时）
提速前	x	s	s/x
提速后	x+v	S+50	(S+50)/(x+v)

   等量关系为:提速前的行驶时间 =  提速后的行驶时间

s/x=(S+50)/(x+v)

 

解法二：设提速前面时间为x时

 

	路程（千米）	速度（千米/时）	时间（时）
提速前	s	s/x	x
提速后	s+50	s/（x+50）	x

  

 

	速度（千米/时）	路程（千米）	时间（时）
提速前	s/x	s	x
提速后	s/（x+50）	s+50	x

等量关系为：提速前的速度+增加的速度v=提速后的速度

 s/x+v= s/（x+50）

 

解法三：设提速前的平均速度为x千米/时

	速度（千米/时）	路程（千米）	时间（时）
提速前	x	s	s/x
提速后	X+v	S(x+v)/x	s/x

 

     提速后的行驶路程  =   提速前的行驶路程+多行驶50千米

              S(x+v)/x = s+50

6.检验、作答。

    对于任何一个应用题，只要仔细地分析题中的数量关系，都可以得到几个不同的方程方程的意义正是我们建起方程的根本，也是我们检验一个方程是否有现实依据的惟一标准。用表格法分析题中的数量关系与线段、图解法一样，仅仅是分析的一种手段而已，并没有什么独创之处。能用表格法分析的应用题，同样也可以借助于其它工具分析。但对于有几个量限制的问题，通过表格法学生更容易理清各个量之间的关系，能降低学生的理解难度。

    

    例、（2007山东济宁）南水北调东线工程已经开工，某施工单位准备对运河一段长2240m的河堤进行加固，由于采用新的加固模式，现在每天加固的长度比原计划增加了20m，因而完成河堤加固工程所需天数将比原计划缩短2天，求原计划每天加固河堤多少米？

分析：

   1.首先用一句话概括这是一个讲什么的问题？（工程问题）

 

   2．在这种问题中有哪些量，即名称？

 

     （总工作量，工作时间，工作效率）

 

   3．这三个量用等式如何连接？

            总工作量=工作时间*工作效率

 

     在列方程解应用题时，都涉及到三个量，其中一个作“设”，一个作“已知”，一个作“相等关系”。现在我们来进行分析：

 

 

 

	原计划	实际	分析顺序
总工作量（m）	2240	2240	2已知
工作时间（天）			3相等关系）
工作效率（m/天）	x	X+20	1（设）

 

  

 

4．先看问题问的是什么？

 

   求原计划每天加固河堤多少米？它在三个量中属于哪个？

 

   工作效率 ，我们可以设原计划每天加固河堤xm，那么现在每天加固河堤多少米？（x+20）m.

 

  5.题中哪个量是明明白白知道的？（总工作量）

 

  6．剩下一个就是“相等关系”，它是什么呢？（工作时间）

 

    把题中和工作时间有关的一句话找出来。

 

   （因而完成河堤加固工程所需天数将比原计划缩短2天）

 

    用等式把它们连接起来，（计划天数-实际天数=2）

 

    把表中的两个“工作时间”表示出来。你能把方程列出来吗？

  

    在上述过程中，最重要的是：强调过程与分析，抓住应用题的核心：“设”，“已知”，“相等关系”。按先后顺序进行分析，使理解能力较差的学生能较快地掌握，在实际的教学过程中是有一定效果的。

 

    对于其它类型的方程也可采取类似的方法进行分析。它是一种基础的东西，简便的东西，而不是一种高而全的东西，它最大的特点是把解应用题的过程结合分析进行程式化，教师可以通过程式化的分析来进行引导，使学生，特别是基础与理解能力不太好的学生能进入问题，而且能在分析与求解过程中明显感觉到自已的作用，从而激起学习的兴趣与信心，为今后的学习打一个基础，这篇文章的是侧重点是一种具体教法的探索，而且强调了针对性，希望看到本文的朋友能理解本人的苦心。

 

 

二、教学效果剖析

    苏霍姆林斯基说过:“教师的任务就是要不断地发展儿童从学习中得到满足的良好情感，以便从这种情感中产生和形成一种情绪状态——即强烈的学习愿望”。数学教学的目的是：面向全体学生，着眼于促进学生全面、和谐、主动地发展，致力于使每个学生获得必需的、与个性发展相适应的数学，同时得到基本素质的培育和提高。现代教学的基本特征是充分调动、培养学生学习的主动性与积极性，最大限度地实现所有学生的诸方面素质的主动、生动、全面、和谐、充分的发展。如何实现学生积极主动地学？根本途径在于引导学生参与学习过程，掌握学习方法。本策略通过表格分析确定等量关系，从表中可使等量关系直观而明显地呈现出来,从而反映出数量关系,确定出等量关系列出方程。而本策略的最大突破口在于将表格分析程序化，让学生感觉到应用题也是有章可循的，体验思维的有序性，分化学习困难，从而树立学生学习的自信心，让学生参与到课堂中来，调动学生学习的积极性，提高课堂教学有效性，体现教学策略的可行性。

    当然，应用题的学习是学生综合应用知识能力的一种具体表现，反映学生知识应用的一种具体能力的体现。应用题教学内涵极其丰富，但我坚信，只要教师在教学中应根据学生的特点和教材的特点，因材施教，在教学工作中灵活地运用一些教学策略，遵循低起点、循序渐进的原则，为学生营造轻松的氛围，让学生觉得应用题离自己并不遥远，从而喜欢上应用题，进而掌握应用题的解答方法。