刘瑞祥

　　一日无聊，想起了一个不定方程——x²-y³=1，就我印象中的结论来说，这个方程只有一组正整数解：x=3且y=2。我突发奇想，这个方程可以怎么推广呢？

　　我们观察1+2³=3²，发现左边是一个立方，右边是一个平方，但其实左边的那个1也可以看作是平方或者立方的形式。于是我想，等式右边的3²加上一个什么数（最好不要太大）的三次方才能得到一个完全平方数呢？这个答案很简单，加上27就可以了，于是得到3²+3³=6²。和第一个式子对比，连猜带验证，得到第三个式子：6²+4³=10²。继续验证几个数，把这些式子整理一下：

…………

　　这些式子的规律是简单的：

(1+2+…+n)²+(n+1)³=[1+2+…+n+(n+1)]²

　　运用等差数列求和公式，上述恒等式亦不难证明。这个恒等式虽然简单，肯定算不上什么成果，但关键这是我自己得到并证明的，而且这个恒等式形式上也比较美观，有一种递推的趣味，因此我还是很珍惜这个结果的。后来我回顾这段经历，发现思考3²加上一个什么数（最好不要太大）的三次方才能得到一个完全平方数是关键一步，另外我还是稍微有一点心算能力的，那天虽然我没什么事，但是并不方便在纸上或者在手机上验算，如果我当时不能立刻得出反应出6³和21²的值，或者记错了，可能也就和这个式子失之交臂了。