加载中…又写了两个农民公式
(2022-08-24 18:47:02)n[n+1][2n+1]÷6【别人写的】
只适用自然数列从1至n的若干个数的段落，可以求出自然数段各数2次幂值，1²+2²+3²+，，，，，n²的和。
依据上面的模式，我用5分钟时间，写出：求2²+4²+6²+8²+，，，，，，，+n[偶数]²。偶数数段各数2次幂值之和的求和公式：
n[n+2][2n+2]÷12
2²+4²=20
n=4
n[n+2][2n+2]÷12
4[4+2][2×4+2]÷12
24×10÷12=
240÷12=
20
2²+4²+6²=56
n=6
n[n+2][2n+2]÷12
6[6+2][2×6+2]÷12
48×14÷12=
672÷12=
56
偶数=整数×2
2²+4²+6²+8²=120
n=8
n[n+2][2n+2]÷12
8[8+2][2×8+2]÷12
80×18÷12=
1440÷12=
120
n[n+1][2n+1]÷6 【求1开始的整数数段各数2次幂值之和】别人写的
n[n+2][2n+2]÷12【求2开始的偶数数段各数2次幂值之和】我写的
依据别人的：n[n+1][2n+1]÷6
我写出了偶数数段各数的2次幂值之和的求和公式：n[n+2][2n+2]÷12
之后就着手写奇数数段各数的2次幂值之和的求和公式。
开始写出的因式，符合1²+3²，放到1²+3²+5²就不行了。
符合1²+3²+5²的，放到1²+3²又不行了。
没找到问题的关键，才会这样东不成西不就。
于是我想，奇数数列是去掉偶数的数列，那么反映在【奇数数段各数的2次幂值之和】上的关键，是要在整数数列的2次幂值和的基础上，减去偶数2次幂值。
于是在早上上班前，我在n[n+1][2n+1]÷6中的【六倍值】n[n+1][2n+1]基础上，增加一个减项：-[n-1]
n[n+1]【[2n+1]-[n-1]】÷6
代入验算时，1²+3²行，1²+3²+5²也行。应该是对了。
慌忙上班去，等偷懒时再继续验算。
在偷懒验算的过程中，又发现一个奇妙现象。
n[n+1]【[2n+1]-[n-1]】÷6
n=3时，
3×[3+1]×【[2×3+1]-[3-1]】÷6
3×4×【7-2】÷6
3×4×5÷6
60÷6=10
1²+3²=10
n=5时
1²+3²+5²=1+25=35
5×6×7÷6
210÷6=35
n=7时
1²+3²+5²+7²=35+49=84
7×8×9÷6
504÷6=84
奇妙之处：
3×4×5÷6
5×6×7÷6
7×8×9÷6
于是公式可以写成：n[n+1][n+2]÷6
因为[2n+1]-[n-1]=n+2
这样
在别人的n[n+1][2n+1]÷6 【求1开始的整数数段各数2次幂值之和】
的开导下，我写出了：
n[n+2][2n+2]÷12【求2开始的偶数数段各数2次幂值之和】
n[n+1][n+2]÷6【求1开始的奇数数段各数2次幂值之和】
整数，n[n+1][2n+1]÷6
偶数，n[n+2][2n+2]÷12
奇数，n[n+1][n+2]÷6
三种数段各数的2次幂值之和的求和公式就齐全了。
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