今天来简单看看一些公共/社会选择理论中的有趣东西。不过也可能很枯燥。

诺贝尔经济学获得者Kenneth Arrow在早年的博士论文中,证明了所谓的选票制度中的不可能性定理：他认为无论如何一个政治进程中的选票方式（如简单的少数服从多数）都不可能满足所有五个他订立的条件。这五个条件是:

1)      Collective Rationality (集体理性)：亦可解释为完全性和传递性(completeness and transivity)。简单说，社会选择应该是能传递的(transitive)，若对所有人而言，x > y > z，那么 Z不能大于X。若所有人们认为x优于y，y优于z，而z又优于x，那么人们的选择是intransitive的，是一种不理性。(Formally, for  all individuals, if  xPy and yPz, then xPz )

2)      Unrestricted/Universal Domain (无限制区域): 个体可以选择认何他们希望选择的东西，而不受限制；不能出现这样的情况，即一部分人的选泽不被考虑、计算到整体的社会选择中，或者说一部分人因为这些选择而被剥夺政治参与的权利。(Each individual is free to choose any preference ordering)

3)      Unanimity ( 全体一致性；Pareto原则) : 若所有个体均认为x > y，那么社会选择中也应该x > y (If for every individual x P y, then for the social choice x P y)

4)      Non-dictatorship （非独裁）: 任何个体的取向‘选择不自动地成为其他个体的选择。(An individual’s preference is not automatically taken as the preferences of other individuals0

5)      Independence of Irrelevant Alternatives (选择需独立于无关因素): 当个体们对x 和y进行社会排序、选择时，不应该受到z 或其他无关的外在因素的干扰。

Arrow认为没有任何的选票设计能够同时满足以上五条条件。众所周知，简单的少数服从多数原则可能产生Condorcet Paradox  （孔多塞悖论），违反条件(!)，而其他的办法，如常用的Borda Count, 当产生结果时又可能无法满足(5)。

这倒不是我们关心的问题。我们关心的是在何等情况/条件下，能够达到集体理性，避免Condorcet Paradox.

对这个问题，Duncan Black (1948)做过探讨：只有当所有人的选择为单峰的(single-peaked)， 才能避免Condorcet Paradox  。我们先来看看Condorcet Paradox  是何样的: