设计者:西安市第八十九中学楚利平 ，数学高级教师，西安市学科带头人

邮编：710003

版本：北师大版

模块：必修一第二章2.1函数的概念

授课班级西安市八十九中学高二零一九届6班

学情分析 ：西安市八十九中学是陕西省省级示范学校，其中高二零一九届六班学生，是         

   高 一新生，入学三周多，中考成绩648到655左右，中考水平处于西安市16%的位次，    

   学生学习主动性较好，思维较为活跃，自主学习能力较好，前面按顺序完成了集合一章 的  

  学习任务，学习了第二章第一节生活中的变量，学生反映较好，针对学生实际设计了本节   

  课。

教学目标：1.知识与技能

          了解在函数传统定义的基础上引入集合观点下的函数定义的必要性。

           理解集合观点下的函数定义，理解函数符号y=f(x)的意义，理解f(a)与f(x)的区别与联系，会求给定自变量的函数值。

          会求简单函数的定义域和值域，能判断两个函数是否为同一个函数。

          掌握区间的概念，会用区间表示函数的定义域和值域。

2.过程与方法

     通过具体实例归纳概括函数的定义，学生经历分析、 归纳概括集合观点下的函数定      义，发现概念的形成过程，提升学生数学思维能力，数学语言表达能力。

     通过函数y=f(x)概念的学习，探究，及区间的概念的学习，感知数学符号的简洁美， 提升学生符号意识和求简意识。

3.  情感、态度价值观

    在本节课的学习过程中，引导学生形成运动变化发展的辩证唯物主义观点，培养学生认真观察、分析和抽象概括能力，初步认识数学的文化价值及数学语言和符号语言的准确 性，激发学生学习数学的兴趣。

教学重点：集合观点下函数概念的理解及函数符号y=f(x)的理解，区间的概念。

教学难点：函数概念及函数符号y=f(x)的理解，区间的表示法。

核心素养：数学的抽象性，图形的直观性核心素养以及数学建模的核心素养

教学方法：启发诱导教学法

教学过程

一、  导入（以下：老师---T;学生----S）

S1:在某个运动变化过程中，有两个变量x,y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。(老师用幻灯片打出来。)

是函数吗？

设计意图：用问题引出新课，激发学生的兴趣和求知欲

S2：是函数

S3：不是函数

T：到底是不是函数，我们暂且放一下，请同学们观察下面的实例，思考，它们的共同点。

S4：共同点都有两个非空数集，有一个对应法则。

S5:集合A中的每一个元素在集合B中都有唯一确定的元素和它对应。

T:这位同学归纳的很好，同学们再仔细观察一下集合A中的元素与集合B中的元素之间有何对应关系呢？

设计意图：由学过的函数出发，引导学生归纳概括出函数的定义，符合学生的认知规律。具体操作，首先引导学生从宏观上找共性，然后层层深入，分析函数本质，使学生从感性认识上升到理性认识，提升学生的思维能力。

二、函数的定义

S6:口述函数的定义（老师同时用幻灯片打出定义）

给定两个非空数集A、B，如果按照某个确定的对应关系f，对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就把对应关系f叫做定义在集合A上的函数，记作f：A→B，或 y=f(x)，x∈A．此时，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域．习惯上称y时x的函数。

设计意图：引导学生从已知的函数出发，逐步归纳概括出函数的定义，这是本节课的一个关键点，提升学生思维的深刻性和发展性，提升学生的数学语言表达能力。

定义辨析：

1. “y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”，V（t）=30t。

函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，是一个数，而不是f乘以x；f可以是解析式的形式出现，也可以是表格或者图形形式出现。

两个函数相同必须是它们的定义域和对应关系分别完全相同.

有时给出的函数没有明确说明定义域,这时它的定义域就是自变量的允许取值范围.

设计意图：此处老师要重点讲评，拓展加深，帮助学生理解函数概念y=f(x),这是本节课的一个关键点。用学生熟悉的函数解释含义 ，求 的值，让学生理解f(x)的含义。

2． 构成函数的三要素：

定义域、对应关系和值域。同时我们可以回答前面的两个问题了，他们是函数。函数 与函数 不是同一个函数，为什么？

S7：因为约分以后形式相同，但函数的定义域不同，因此它们是两个不同的函数。

T:请同学们思考函数 与函数 是否是同一个函数？

S8:是同一个函数，因为它们的对应关系和定义域相同.

T：回答正确，点个赞。

设计意图：强调定义域不同函数不同，对应法则不同，函数不同，进一步理解函数的三要素

三、用新定义复习学过的函数，及时归类函数的定义域和值域

. y= (k≠0) 定义域是 ，值域是

.y=ax²+bx+c (a≠0) 定义域R,值域

设计意图：及时对以前学过的知识进行归纳总结，符合学生认知规律，及就近发展原则，同时引导学生对所学知识及时进行归类，总结和提高，培养学生自学能力。（学生和老师共同讨论，用幻灯片的形式展示结果）

四、利用定义判定对应能否构成函数，加深对概念的理解

【例2】 下列对应是否为集合A到B的函数：

(1)A＝R，B＝{x|x＞0}，f：x→y＝|x|；

(2)A＝Z，B＝Z，f：x→y＝x²；

(3)A＝N，B＝Z，f：x→y＝± ；

(4)A＝ ，B＝{0}，f：x→y＝0.

T:[思路探索] 判断一个对应是否为函数，要充分利用函数的定义，即看A中的每一个元素是否在B中有唯一的元素与之对应．

解:

S9：　(1)集合A中的元素0在集合B中没有对应元素，故不是集合A到集合B的函数．

T：回答得很好，抓住了定义的核心，谁回答第二个问题？

S10：(2)对于集合A中的任意一个整数x，按照对应关系f：x→y＝x²，在集合B中都有唯一一个确定的整数x²与其对应，故是集合A到集合B的函数．

T：很棒，第三个问题谁来回答呢？

S11：(3)集合A中元素4，在集合B中有两个元素和它对应，或集合A中元素3在集合B中没有元素和它对应，故不是集合A到集合B的函数．

T:好样的，第四个问题谁来回答？

S12：(4)对于集合A中任意一个实数x，按照对应关系f：x→y＝0，在集合B中都有唯一一个确定的数0和它对应，故是集合A到集合B的函数,它是一个常函数。

设计意图：本例题的目的是让学生进一步理解函数的概念，体会概念的关键点。具体操作：老师引导，学生辨析讨论，进一步加深学生对集合观点下函数概念的理解。

T:通过上面问题，我们对函数的定义有了较深刻的认识，下面我们共同探讨一下课本第26页与27页给出的三个例子，PPT展示

例3.（1）热力学温度与摄氏温度保持这样的关系：T=t+273⁰C，其中，t是摄氏温度， ,T是热力学温度，T是t的函数。

T：同学们思考一下它的定义域是什么？

S13：它的定义域是 。

T：很好，这个题目同时告诉我们f是以解析式的形式出现。

（2）下表记录了几个不同气压下水的沸点。

气压/(105Pa)	0.5	1.0	2.0	5.0	10
沸点/0C	81	100	121	152	179

这张表给出了沸点与气压之间的函数关系。

T：同学们思考一下它的定义域和值域分别是什么？

S14:定义域是{0.5,1.0,2.0,5.0,10};

值域是{81,100,121,152,179}

T：回答正确，同时我们注意，此题中对应关系f是以表格形式呈现的。

强调定义域和函数值域的表示形式。

（3）   如图是匀速运动路程s随时间t变化的函数关系图。

T：同学们思考一下它的定义域和值域分别是什么？

S15:它的定义域是 ，值域是 。

T：回答正确，同时我们注意，此题中对应关系f是以图形形式呈现的。同时我们要注意实际问题函数的定义域要考虑存在的意义。

强调实际问题要考虑存在的意义。

设计意图：体会数学与物理学科和生活的密切联系。认识数学的社会价值。同时体会数学符号f的含义和其多种变现形式:f可以是解析式、表格，或者图形形式出现。

具体操作：学生和老师一起探讨，学生回答。强调定义域和函数值域的表示形式。

五、区间的概念

设a,b是两个实数，而且a作出规定

（1）满足不等式 的实数x的集合叫做闭区间，表示为 ；

（2）满足不等式 的实数x的集合叫做开区间，表示为 ；

（3）满足不等式 的实数x的集合叫做半开半闭区间，表示为 ；

（4）满足不等式 的实数x的集合叫做半开半闭区间，表示为 ；

说明： 对于 ， ， ， 都称数a和数b为区间的端点，其中a为左端点，b为右端点，称b-a为区间长度；

引入区间概念后，以实数为元素的集合就有三种表示方法：

不等式表示法：3（一般不用）；集合表示法： ；区间表示法： ；

在数轴上，这些区间都可以用一条以a和b为端点的线段来表示，在图中，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点示不包括在区间内的端点；

 

 

实数集R也可以用区间表示为（-∞，+∞），“∞”读作“无穷大”，“-∞”读作“负无穷大”，“+∞”读作“正无穷大”，还可以把满足x a, x>a, x b, x的   实数x的集合分别表示为[a,+∞]、（a,+∞）、(-∞,b)、(-∞,b)。

引入区间的概念，要求学生掌握区间的四种表示形式，引入新的符号语言，通过集合语言、文字语言、符号语言和图形语言的相互转化，让学生感知数学表达形式的多样性，引导学生学会应用，同时体会数学符号的简洁性，感知数学表达形式的简洁美。

六、一次函数模型的应用

例4. 某山海拔7500m, 海平面温度为25°C,气温是高度的函数, 而且高度每升高100m, 气温下降0.6°C.请你用解析表达式表示出气温T随高度x变化的函数,并指出其定义域和值域.

解析：引导学生归纳判断函数模型。

T:请大家思考一下，我们学习过的哪个函数模型符合题目的形式呢?

S16:一次函数。

T：那继续探究它的比例系数，求解析式。

S17:函数解析式为：  

S18:函数的定义域为[0,7500],值域为[-20,25].

设计意图：强化函数的概念及用区间表示函数的定义域和值域。体会一次函数的模型的应用，培养学生归纳概括能力，提升学生的思维层次。

七、引导学生小结本节课的重点是：

1.理解集合观点下函数的定义，理解函数符号y=f(x)的意义。

2.掌握区间的概念，并会用区间表示函数的定义域和值域。

3.求函数的定义域时要注意以下几点

（1）如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R .

（2）如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合 .

（3）如果f(x)是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合.

（4）如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合.（即求各集合的交集）

（5）对于实际问题，要考虑存在的意义。

    作业： P₂₈2题；P₃₄A组1,2