西姆松逆定理：若三角形外任意一点在该三角形三边所在直线上的射影共线，则该点一定在三角形的外接圆上。
西姆松逆定理的证明如下：
已知：如图8-15所示，已知P是△ABC外一点，由P向三角形三边BC、CA、AB或其延长线作垂线，垂足为D、E、F，且D、E、F三点共线。
求证：P点在△ABC的外接圆上。
思路：利用四点共圆的基本性质来证。

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证明：  连接PB、PC。
∵  PE⊥BC于E，PD⊥AB于D；
∴  B、P、E、D四点共圆；
∴  ∠BPD=∠BED；
∵  PE⊥BC于E，PF⊥AC的延长线于F；
∴  P、F、C、E四点共圆；
∴  ∠CPF=∠CEF；
∵  ∠BED=∠CEF；
∴  ∠BPD=∠CPF；
∴  ∠DBP=∠PCF；
∴  P、B、A、C四点共圆；
∴  P点在△ABC的外接圆上。
结论：在圆中，西姆松线具有丰富的性质和广泛的用途，在此不再赘述。