斯坦纳问题：如果一个三角形的两个内角的平分线相等，那么这个三角形是等腰三角形。
已知在△ABC中，BE和CF是∠ABC和∠ACB的平分线，且BE=CF。
求证：AB=AC。

思路1：首先要构造一个△BED与△FCB全等，其次，要用角边边证明一对钝角三角形全等：△DBC≌△CED；（ASS）第三步：根据边边边公理证明△BCF≌△CBE；虽然是一个3步题，但却是一道世界难题。
证明1：如图8-29甲所示，以BE为边作∠BED=∠BCF，再截取ED=BC，连DB、DC。
在△BED和△FCB中；
  DE=BC；
∠BED=∠BCF；                                    

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  BE=CF；
∴  △BED≌△FCB；（SAS）
∴  BF=BD；∠BFC=∠DBE；
∵  ∠DBC=∠DBE+∠EBC=∠BFC+∠EBC
=180°-∠ABC -∠ACB+∠ABC；
=180°-∠ABC -∠ACB；
=180°-（∠ABC +∠ACB）；
=180°-（180°-∠BAC）；
=90°+∠BAC；
∠DEC=∠DEB+∠BEC=∠BCF+∠BEC
=∠ACB+（180°-∠ACB-∠ABC）；
=180°-∠ACB-∠ABC；
=180°-（∠ACB +∠ABC）；
=180°-（180°-∠BAC）；
=90°+∠BAC；
∴  ∠DBC=∠CED＞90°；
在△DBC和△CED中；
  ∠DBC=∠CED＞90°；
   DE=CB；
   DC=DC；
∴  △DBC≌△CED；（ASS）
∴  DB=CE；
在△BCF和△CBE中；
   DB=CE；
   BC=CB；
   BE=CF；
∴  △BCF≌△CBE；（SSS）
∴  ∠FBC=∠ECB，AB=AC；
结论：我们分析一下该证法：在△BCF和△CBE中，已经有两个条件成立：BE=CF、BC=CB，要证明它们全等，用SAS公理必须使∠FBC=∠ECB，那么，AB=AC已经成立，看来此路不通；用ASA公理和AAS定理更不行，因为你放弃了一个已知的边相等的条件；用ASS也没有可能，因为这两个三角形都不是钝角三角形，看来只有一条路可走用SSS公理。那么该证法中构造△BED与△FCB全等是一个创举，证明△DBC≌△CED（ASS）是一个奇迹，因为用角边边证三角形全等，这是我们第一次见到。

思路2：根据三角形内心的性质，构造与△ABC面积相等的两个三角形△CFH和△BEG；（ASS）第三步：根据边边边公理证明△BCF≌△CBE；虽然是一个3步题，但却是一道世界难题。
证明2：如图8-29乙所示，
在BC的延长线上截取CG=BA，连OG，EG。
在CB的延长线上截取BH=CA，连OH，FH。
∵  BE、CF是△ABC的角平分线，BE=CF，BE与CF交于O，
∴  ⊙O内切于△ABC
过O作OD⊥BC于D，则D为切点。
∴  AC+BD=AB+CD  （切线长定理）                
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∴  HB+BD=GC+CD；
∴  HD=DG；
∴  OH=OG；
∴  ∠OHG=∠OGH；     （1）
∵  BE是∠ABC的平分线；
∴  E到AB、CG上的距离相等；
∵  AB=CG；
∴  S△ABE=S△ECG；
∴  S△ABC=S△BEG；
∵  CF是∠ACB的平分线；
∴  F到AC、BH上的距离相等；
∵  AC=BH；
∴  S△AFC=S△FBH；
∴  S△ABC=S△CFH；
∴  S△BEG=S△CFH；
过H作HM⊥CF的延长线于M，过G作GN⊥BE的延长线于N；
则HM=GN；
在Rt△OMH和Rt△ONG中；
HM=GN；
∠OMH=∠ONG=90°；
OH=OG；
∴  △OMH≌△ONG；（HL）
∴  ∠HOM=∠GON；
∵  ∠HOM=∠OHG+∠ACB；
∠GON=∠OGH+∠ABC；
∴  ∠ABC=∠ACB；
∴  AB=AC；
结论2：对于证法1，日本数学家秋山武太郎说：“确实是巧妙的直接证明，今后恐怕不会有更高明的证法了？”你们大家说说看：证法2是不是更好理解一些呢？

思路3：用反证法。因为AB≠AC，所以AB＞AC，或者AB＜AC。由此推导出BD＞CE或者BD＜CE。这个矛盾的结论。
证明3：∵  AB＞AC；
∴  ∠ABC＜∠ACB；
∵  BD是∠ABC的平分线；
CE是∠ACB的平分线；
∴  ∠ABD＜∠ACE；

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过B、E、C三点的作圆与BD交与F，连CF。
则B、E、F、C四点共圆。
∴  ∠EBF=∠ECF；
∴  ∠ECF＜∠ECD；
∴   BF＜BD；
又∵  ∠BCF＞＜∠EBC；
  ∠BCF=∠BCE+∠ECF=（∠ABC+∠ACB）
=（180°-∠BAC）；
=90°-∠BAC＜90°；
∴   BF＞CE；（在同圆中，等弧对等弦对等圆周角，等圆心角。如果圆周角是锐角，则大角所对的弦大。）
∴   BD＞CE；
这与BD=CE相矛盾。
所以AB＞AC不成立。
同理AB＜AC也不成立。
故：AB=AC。