拿破仑定理:以任意三角形的三边为边向外作等边三角形，则这三个等边三角形的中心的连线是一个等边三角形。
在△ABC的各边上向外各作等边△ABD，等边△ACF，等边△BCE。
求证：这3个等边三角形的中心M、N、P的连线构成一个等边三角形？

思路一：如图8-27所示，利用已有的三个圆和三个四点共圆来证明。
证明：设等边△ABD的外接圆⊙N，等边△ACF的外接圆⊙M，等边△BCE的外接圆⊙P
相交于O；连AO、CO、BO。
∵  A、D、B、O四点共圆；
A、F、C、O四点共圆                       http://b12.photo.store.qq.com/http_imgload.cgi?/rurl4_b=b22aefa0aa311b4cccf823c4da5d9b979a743a22f67e3efbac066fab45ec0908f5217dff4e06741f77d4c0635055b0aa8f5e572f17b92d4de77d3e3d487bacc049814fe38be5d762c6dbabfb7bd91ec06f67465e


B、E、C、O四点共圆
   ∠AFC=∠ADB=∠BEC=60°；
∴ ∠AOB=∠AOC=∠BOC=120°；
∵  NP、MP、MN是连心线；
BO、CO、AO是公共弦；
∴  BO⊥NP于X；
CO⊥MP于Y；
CO⊥MP于Z。
∴  X、P、Y、O四点共圆；
Y、M、Z、O四点共圆；
Z、N、X、O四点共圆；
∴  ∠N=∠M=∠P=60°；
即△MNP是等边三角形。
结论：图中本没有圆，为了方便读图，我特地画出了三个等边三角形的外接圆：⊙N、⊙M、⊙P，而且还有三个四点共圆之辅助圆。一共六个圆。这是多么奇妙的构思啊！

思路二：如图8-27所示，利用旋转的三角形全等来证明。
证明：将△NBP绕着P点旋转120°至△GCP；连GM；则NP=PG，∠CGP=∠BNP；
设  ∠ABC=α、∠ACB=β；
  ∠NBP=60°+α；
∴  ∠GCP=60°+α；
∵  ∠MCP=60°+β；    
∴  ∠GCM=360°-（60°+α）               http://b9.photo.store.qq.com/http_imgload.cgi?/rurl4_b=b22aefa0aa311b4cccf823c4da5d9b9733cfaf914595b0c85183a42f3be7a37f7d57ae96ef0ee13db6e0bdf912c930bcdf1de6b5c5f0921d47ee0ea89b32d4b26572a6c6fac18c7ebcd2640ccd5029133955b89b


-（60°+β）；
=240°-（α+β）；
=240°-（180-∠BAC）
=60°+∠BAC；
=∠NAM；
在△MAN和△MCG中；
MC=MA；
∠GCM=∠NAM；
CG=NA；
∴ △MAN≌△MCG；（SAS）
∴ MN=MG；∠CGM=∠ANM；∠CMG=∠AMN；
在△MNP和△MGP中；
MN=MG；
PM=PM；
PN=PG；
∴ △MNP≌△MGP；（SSS）
∴ MN=MG；∠PNM=∠PGM；∠PMN=∠PMG；
∵  ∠BNA=120°
∴  ∠MNP=∠MGP=∠CGP+∠CGM=∠BNP+∠ANM=60°；
∵  ∠AMC=120°；∠CMG=∠AMN；
∴  ∠NMG=120°；
∴  ∠PMN=∠PMG=60°；
∴  ∠N=∠M=∠P=60°；
即△MNP是等边三角形。
结论：该证法：第一步：构造旋转的两个三角形全等△MAN≌△MCG；第二步：证明翻折的两个三角形全等△MNP≌△MGP；第三步：由∠BNA=120°推导出∠MNP=60°；第四步：由∠AMC=120°推导出∠PMN=∠PMG=60°。

思路三：为了更充分展示这个命题的证法之蹊跷，请看我自己的证法。利用旋转的三角形相似来证明。
证明：如图8-28乙所示：连NA、NB；MA、MC；PB、PC。再连CD、BF、AE。
∵  ∠BAF=60°+∠BAC；
    ∠DAC=60°+∠BAC；
∴  ∠BAF=∠DAC；
在△BAF和△DAC中；
   DA=BA；
∠BAF=∠DAC；
   CA=FA；
∴ △BAF≌△DAC；（SAS）
∴ DC=BF

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同理：DC=AE；
∴ DC=BF=AE；
∵  ∠NAM=60°+∠BAC；
    ∠DAC=60°+∠BAC；
∴  ∠NAM=∠DAC；
∵  AD=2ANcos30°
    AC=2AMcos30°
∴  AD:AN=AC:AM;
在△NAM和△DAC中；
  AD:AN=AC:AM；
  ∠NAM=∠DAC；
∴ △NAM∽△DAC；（SAS）
∴ DC:NM=AD:AN；
同理：AE:PM=AC:MC、AE:PN=AB:BN。
∴  NM=MP=PN；
即△MNP是等边三角形。
结论2：该证法：第一步：证明旋转的三个三角形全等△DAC≌△BAF≌△EAB；得到：DC=BF=AE。这是一般的学生都能做到的。第二步：证明旋转的三对三角形相似△NAM∽△DAC；△MCP∽△FCB；△PBN∽△EBA！这也是一般的学生都能做到的，但是组合起来就不是一般学生所能想到的。须知：第一：用SAS证相似就不是一道简单的相似题了。第二：任何复杂的问题都是由简单的问题复合而成的。