注：与章志敏先生素不相识，但他看到了我写刘半农的文章，并从数学思维角度分析。我很惊讶。感谢章先生。我很喜欢数学。刘半农稿后来《名人传记》杂志也刊发了。

                            ——逄春阶

再说数学思维

作者：□章志敏

　　“神奇的数学思维”在 《曲阜师大报》刊出后，很多同志指出该文没有说清楚什么是数学思维？

　　一、什么是数学思维？一般认为数学思维既有形式化的逻辑思维，更有活跃的创造性思维，所以德国哲学家赫巴特说： “数学最大的贡献是直接促进严谨思维和创新精神。”数学方法的特点是证明，而证明依靠逻辑，所以学习数学可以帮助我们培养逻辑思维能力，从一个侧面学会正确的思维方法，对于我们探索真理和研究各种问题会很有用的。1920年8月，客居伦敦的刘半农写下了感情深沉的《情歌》，后改写成 《教我如何不想她》。1926年经赵元任谱曲，一时传唱大江南北。诗和歌曲传唱后，引起很多人的遐想，诗中的 “她”一定是位容貌秀丽的女神，而词作者应该是位气质高雅的才子。有一天刘半农在好友李抱忱邀请下，参加了一个音乐会，会上介绍刘半农是 《教我如何不想她》作者时，一位年轻女子低声说： “原来是这样一个老头。”刘半农是位很风趣的人，回家后写了一首打油诗：“教我如何不想她，请进门来喝杯茶。原来如此一老叟，教我如何再想他。”

　　《教我如何不想她》中的 “她”是谁呢？ 《大众日报》记者逄春阶认为：这个 “她”可能是刘的祖母夏氏，母亲秦氏，也可能是他的妻子朱惠，女儿刘小惠，或是他朝思暮想的 “故乡”，还有祖国的影子。 “她”是祖母夏氏的理由是，夏氏是个了不起的人，抚养了三个教授级的孙子———刘半农,刘天华,刘北茂。刘半农从法国得到了学位回到故里，非常怀念从小抚育他的祖母，把家中的客厅取名为 “思夏堂”。因此在他客居伦敦写作时，一定会想到祖母夏氏。逄也指出其他推测的理由，他这样有根有据的推测思维，正是逻辑思维的求证方式。

　　有人认为数学思维就是逻辑思维，这是一种误解。首先要理清数学和逻辑学的关系，项武义把数学比作美女，而逻辑是她的骨架。数学既有逻辑思维，还有活跃的创新思维。学者戴威说： “我对创新最浅显的理解，就是遇到困难和问题时，非常大胆地以全新方式来解决它。”数学创新的最高形式是提出新理论给出新方法，上世纪50年代，拓扑学示性类研究还处在起步阶段，数学大师吴文俊教授将示性类概念由繁化简由难变易，引入了新的一类示性类，被称为吴示性类，又给出了刻划各示性类之间关系的吴公式，使示性类理论成为拓扑学中最完美的一章，1956年获国家首界自然科学一等奖。创新思维还有一种形式是 “跨界”，如50年代末，我国数学界推广一种 “图上作业法”，管梅谷将一笔划问题引入图上作业法的研究，发表了《奇偶点图上作业法》，外国文献称之为 “中国邮递员问题”。华罗庚很赞赏管梅谷的创意，称他是 “山东第一条好汉！”我和王长钰把信息论中的“熵”作为优化函数，证明了正交设计是熵最优的，而传统研究的 “D最优”， “E最优”,“A最优”都是熵最优的特例，这一结果1983年发表在法国学术刊物上。

　　从广义来讲，数学思维就是合理思维优化思维，人皆有之。我们经常面临 “选择”，如我想是一件衣服，对待选择就要考虑价格，质量，款式，不同的人对这些因素偏向面不一样，经济条件富裕的，就比较重视质量，年轻的同志重视款式。虽然大家的选择不一样，但对每个人来说都是最优的，这就是每个人用的优化思维。

　　二、怎样培养数学思维，首先要学好数学知识，没有知识为基础的数学思维是无源之水。在学习知识的过程中，需要多问，所以李政道说： “求学问，需学问；只会学，非学问。”微分中值定理是微积分中一个重要内容，一般认为拉格朗日推广的罗尔定理，柯西又推广了拉格朗日定理，教科书也是这样叙述的。但是拉格朗日是在1797年给出微分中值定理，而1834年才有人用罗尔定理证明了拉格朗日定理。那么拉格朗日怎样 “想”出中值定理的？再问中值定理和其它重要定理之间是什么关系，特别和积分中值定理是什么关系？三问微分中值如何从几何角度理解？四问是否有多元函数和复数域上的微分中值定理？教师除了传授知识外，更应引导学生在意识层面上去思考。在层次分析课程中，在讨论灵敏度分析时，引入了特征向量排序法的标准型。后来我又找到了最小偏差法的标准型，我就让我的研究生找寻其他算法的标准型。最后魏翠萍又找到了广义偏差法，对数最小二乘法，梯度特征向量法的标准型，这一成果发表在1998年美国的学术刊物上。学校应该营造多问的环境，如举办讨论会，支持出版学术刊物。山东财经大学金融学院有一措施，深受学生欢迎。他们三年来聘用学生为讲师，开办学生课堂，内容是带领学生复习微积分课堂上学过的知识和一起做习题，学生听课是自愿而来的。金融学院党委副书记徐明春介绍； “这种课堂在学生间反响出奇的好。” 《人民日报》曾刊载一篇“教学三悟”的文章，其中介绍了一位美国大学校长的话； “一个大学生毕业时，如果认为自己什么问题都弄懂了，可以授予他学士学位；如果认为自己有一些问题弄懂了，一些问题还没弄懂，可以授予他硕士学位；如果认为自己什么问题都没有弄懂，可以授予他博士学位。”

　　《新课程标准》指出我们的数学教育目标：通过义务教育阶段的数学学习……初步学会运用数学的思维方法和必要的应用技能，初步学会运用数学的思维方式去观察,分析现实社会，去解决日常生活中和其它学科学习中的问题，增强应用数学的意识。数学思维很神奇但不神秘，让我们走进数学思维，真正做到 “腹有数学气自华”。(2017年11月23日《曲阜师大报》