对全微分表示式求积分的一般方法

                                 陈建一

设有函数

  f=g(x_1，x_2，…，x_n)                  <1>

<1>式两边对x₁ 求偏导数，有

 〆f/〆x₁=〆g/〆x₁ + (〆g/〆x₂)(〆x₂/〆x₁)+ … +(〆g/〆x_n)(〆x_n/〆x₁)   <2>

<2>式两边同乘以〆x₁=dx₁，并把求偏导数符号〆换成求微分符号d，则有全微分式

df = g₁dx₁ + g₂ dx₂ + … + g_n dx_n                <3>

其中

g₁=〆g/〆x₁=dg/dx₁，，g₂=〆g/〆x₂=dg/dx₂，，…，g_n=〆g/〆x_n=dg/dx_n    <4>

对<3>式两边求积分，将<4>式代入可得结果，有

  ∫df  =∫g₁dx₁ + ∫g₂ dx₂ + … + ∫g_n dx_n              <5>

如果每一项都看成变量计算，则会有n倍的g，出现错误，错误的计算会算得

  f = g +g + … + g                   右边为n个g

显然多了n-1个g，所以不能这样算。

正确的求全微分的公式应该是右边只计算n个积分中的一个积分，这样能够回到<1>式，计算公式是

∫df  =∫g_idx_i ，    i=1,2,…n中的一个            <6>

这样才有两边相等

f = g                        <7>

<5>式右边只要求出一个积分就有<1>式。所以对全微分表示式求积分时，要对其中一个变量求积分，这样有一个变量的微分dx_i 不为0，可以求出积分值；而把其它变量看成不变，这样其它变量的微分dx_j 就为0，积分也就为0。这样才能回算出<1>式。

也可以分别算出<5>式右边的n个积分，再两边相加，这就复杂多了，但能够说明问题。看下面计算

∫df  = f =∫g₁dx₁  = g               <8>

∫df  = f =∫g₂dx₂  = g               <9>

……

∫df  = f =∫g_ndx_n  = g               <10>

<8>至<10>式相加，有

nf = ng

即

f = g                                  <11>

<11>式与<1>式相同，这样先对<1>式求全微分得到<3>式，又反过来对全微分表示式<3>求积分，再次回到<1>式。

http://s16/mw690/001gFBy3zy6I4Ve33af2f&690

http://s13/mw690/001gFBy3zy6I4Vj1Cmo0c&690