加载中…完全与解释
(2018-12-26 11:14:08)| 分类： 投资札记 |
设计一个形式系统ＰＭ，通过公理，经过演绎逻辑，想要实现形式完全性，这种期望，被哥德尔证明打击了。这里面，有个基本要求，就是ＰＭ系统是整数性质包含的，也就是说，该系统能够处理数量关系。通过哥德尔证明的思路可以看出来，构造的关键，就在于递延和递归两种策略的使用，构建自指。
哥德尔证明发布之后，全世界数理学家在不可撼动的证明面前都服了。这说明，算术系统，要远比《数学原理》设计的形式系统复杂度更加高，人类对于算术的理解还太初级了。素数，这种存在，其深邃对人类来说，还无法完全理解。黎曼猜想，还没彻底证明。哥德尔，利用素数和字符之间构造映射关系，刻意的制造自指悖论，这种创新性思维，关键还在素数的有效运用上。因此，这个证明，对数学界来说，可是三观摧毁性打击。
一开始，数学的发展是狂放的。从简单的数量、空间关系入手，人类发现竟然存在如此纯粹、理性的学科。人类幻想，超越于物质存在的绝对理性的世界里有数学。数学、意识、上帝，都是绝对理性的存在。
后来，人类慢慢开始怀疑，数学的狂放不羁，背后是不是存在严重的问题，因为，发现了一系列悖论。数学家开始严格定义数学的基础，试图从公理体系出发，把每一个数学分支都整理清晰。通过形式逻辑的演绎推理，人类发现很多数学内在的奥秘，对数学的结构、模式有了更加深刻的理解。
再后来，人类对数学、逻辑之间的关系，因哥德尔证明有了更加深刻的认识。无论如何设计形式系统，只要存在数量关系，肯定会被哥德尔不完全性定理控制，一定会存在符合形式系统定义但不能证明的真理存在。那么，此类问题，该如何处理？如果，设计一条新的公理，或许可以把该命题证明，那么，依然会有下一个新的不完全性出现，不可能彻底消灭悖论。这就导致，指望将数学全部囊括到形式系统中，不可实现。
数量关系，仅通过公理设计，想要完全证明，肯定是不可能了。通过这个发现，人类对很多符合形式逻辑的系统，有了更加深刻的认识。从思维层面，提升了认知高度。这个定理的贡献有多大呢，可以看看外界评价：
哥德尔是20世纪最伟大的数学家和逻辑学家。在逻辑学中的地位，一般都将他与亚里士多德和莱布尼兹相比；在数学中的地位，爱因斯坦把哥德尔的贡献与他本人对物理学的贡献相提并论。
哥德尔不完全性定理一举粉碎了数学家两千年来的信念。他告诉我们，真与可证是两个概念。可证的一定是真的，但真的不一定可证。某种意义上，悖论的阴影将永远伴随着我们。
一个命题为真，还证明不了，这就会带来一个非常摧毁性的结论：人类已经具备的数理逻辑分析基础，其覆盖范围，不足以覆盖数学本身。这种观点，也被认知科学发展逐步揭示。人类，为何可以感受数量与空间？为什么，数学对于某些人非常简单，对另外一些人就很难？为什么，动物不理解数学？数学，对人类来说，其深邃恐永远无法探明。
科幻片《降临》，就非常牛逼。幻想了一个外星种族，给人类传递该种族的语言，帮助人类挖掘出自身可以预测未来的潜力。因为，人类之前不知道自己的脑神经网络如此牛逼，可以学会外星语言，就可以掌握预测未来的神秘逻辑。其实，这是纯幻想了，但是，这种幻想体现出一个很深刻的问题。那就是，人脑这种设备的物理局限性，恐怕会让人类在某个范围内，某种复杂度下，理解数学，永远没可能发现认知极限之外的预测未来的科技。
哥德尔，只不过是挖掘出一种证明手段。这种手段，拓展了人类视野，并不等于，这种手段是全部。换句话说，人类的理性思维太渺小，的确读不懂更加复杂的世界。
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