以极坐标系为例，坐标变换为：

这个公式非常常见，一般称为坐标变换，公式有两个自变量，分别为半径和角度，是原始变量。

一般理解就是得到了笛卡尔直角坐标的x,y坐标，这个坐标实际的涵义是向量在x,y轴上的分量，应用解析几何时，一般理解也就到此。

张量概念中将（x,y）给了一个新名词，称它为协变分量。可以简单理解就是，给定一个坐标变换方程，变换方程中的因变量就是协变坐标分量，与协变坐标对应的是逆变坐标分量，就是变换方程中的自变量。这是由于坐标空间存在一个对偶坐标空间，同一个向量在对偶空间存在分量，该分量称为协变分量，协变分量仍是原始变量（逆变分量）的函数。

对坐标变换方程求雅克比矩阵，雅克比矩阵的转置乘以雅各比矩阵就是度规矩阵。

逆变分量等于逆变度规矩阵乘以协变分量，协变用下标表示，逆变用规上标表示。

空间中一个向量在协变坐标中存在分量，在逆变坐标中也存在分量，显然分量值不同，分量之间依靠度规矩阵进行指标的上升或者下降。无论是协变分量还是逆变分量，都表现为变换方程中原始自变量的函数。总之原始变换方程中的因变量就是协变分量。

什么是协变、什么是逆变，就是一种约定。克氏联络只与度规张量的一阶导数有关，具体为：

度规张量对逆变坐标求导，在极坐标系中，这个逆变坐标就是rho、phi。

张量是多元线性代数，目的是得到一个不依赖坐标系的描述方法。得到的张量尽管不依赖坐标系，但是坐标系是人为定义的，也是一种客观存在，一旦坐标系给定就需要求出在坐标系下的分量，但是这个坐标系比较奇怪，可由纯协变单位向量张成，也可以由纯逆变单位向量张成，还可以用协变单位向量和逆变单位向量混合张成。

极坐标系下向量的逆变分量为：

x_1 = rho

x_2 = phi / rho**2

这样理解就明白多了。

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如何求度规矩阵，度规矩阵就是雅可比矩阵S的转置 * 雅可比矩阵S.

G' = S.T * G * S   ,一般情况下，G是直角坐标系下的单位矩阵。

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张量、微分几何延伸理解：

0、张量不依赖坐标系，无论什么坐标系都要涉及与N维直角坐标系的变换，N维直角坐标系可以视为“元”坐标系，“元”坐标系的单位、零点、方向与真实物理世界和几何特性直接关联。

1、0阶张量就是数值，1阶张量就是向量，由n个序列构成，2阶张量是矩阵，3阶张量是矩阵序列，4阶张量是元素为矩阵的矩阵，5阶张量是元素为矩阵的矩阵的序列，。。。

2、混合度规矩阵表示恒等映射（单位矩阵）。

3、协变度规定义是单位线长，上标度规定义为下标度规的逆元，在任意伪黎曼流形（度规非正定，包括Minkowski这个特殊情形），度规永远不同于单位元。

4、张量是一个物理量或者一个几何量如果必须用n阶方阵描述，且满足某几种特定的运算规则，则这个方阵描述的量（这个量是函数）称为张量。

5、张量是定义一些向量空间和一些对偶空间的笛卡儿积上的多线性函数，坐标是n维空间内，有n个分量的一种量， 其中每个分量都是坐标的函数，坐标变换时，这些分量也依照某些规则作线性变换。

6、度量矩阵是实对称二阶矩阵，既然是实对称二阶矩阵，就可以进行求特征值等操作，但几何意义又是什么你？

7、度规张量，是指一用来衡量度量空间中距离，面积及角度的二阶张量。不同的坐标系对距离的表示不同，但是距离、面积等是几何实在，与坐标系无关。网友说“不同坐标系就像不同的量纲单位，我们说几个苹果的质量这个物理量是不变的，当我们选用斤作为单位的时候，几个苹果是1斤；当我们用克作为单位的时候，重量变成了500克。但不管我们选用什么样的单位，这几个苹果的重量并没有不同，吃1斤苹果和吃500克苹果，效果是一样的。”选用不同坐标系时，张量的分量的值会发生变化，但代表物理量的整体的张量并不会改变（形式）。

8、正交张量是保持映象长度不变的二阶张量。

9、网友说“张量的另外一个例子是广义相对论中的黎曼曲率张量，它是维度为<4,4,4,4>（3个空间维度 + 时间维度 = 4个维度）的4阶张量。它可以当作256个分量（256 = 4 × 4 × 4 × 4）的矩阵（或者向量，其实是个4维数组）。只有20个分量是互相独立的，这个事实可以大大简化它的实际表达。”

10、从几何角度看，张量是一个真正的几何量，它是一个不随参照系的坐标变换而变化的东西。向量也具有这种特性。

11、物理学家们研究张量，最后总想知道具体研究对象的某个物理量值是多少，“答案到底是几”，这时分量表述是高效的，而分量依赖坐标系。

12、有网友对张量的表述是这样的，“张量就是一个吃进去矢量吐出来数的机器而已，n阶的张量需有n个嘴，要吃饱n个矢量才能吐一个标量出来。如果喂的不够，只喂进去m（m＜n）个矢量，那剩下的还是个n-m阶张量。每个嘴都是线性的。每求一次导就多一张嘴出来。”，非常形象。

13、物理定律、几何实体是客观存在，这称为广义共变性（又称为微分同胚共变性、广义不变性），用分析、代数的方法研究它们，必须定义坐标系，直角坐标系是最简单最基本的坐标系，坐标并存在于自然中，就像地球本来就不存在经纬线一样，也不存在经纬线的零点，这都是人们要描述自然所伴随的“人工产物”，坐标系不应在基本物理定律中具有实质物理意义，既然是人工定义坐标系，坐标系就不必须是直角坐标系，也可以是斜的线，也可以是曲线。那么在各种坐标系下，如何表示物理定律、几何实体，让其具有形式不变性，这就是张量要解决的问题，张量可以为物理定律的形式在任意微分坐标转换下保持不变。换言之，张量是脱离了坐标系的“形式不变量”。

14、张量是形式不变量，研究物理问题，更多是时候是寻找一个变换，将一组变量映射到另一组变量，比如洛伦兹变换，在另一组变量中以期发现新的物理、几何解释，或者单纯为了研究方便，必须三维中心对称的问题，球座标就比较方便。

15、（列）向量是什么？向量是一列有序数，从几何的角度看，（列）向量就在直角坐标系下，每一个元素在直角坐标系下的坐标值，直角坐标系是丈量世界的“尺子”，别的都是在直角坐标系下的投影。矩阵是什么？矩阵就是由矩阵的所有列向量，张成一个线性空间，矩阵所有的列向量够构成了一个新坐标系，列向量是这个新坐标系的“单位值”，也可以视为是一个变换，下来的问题就是问，有一个新向量（它是基于直角坐标系的），在新坐标系的座标值是多少，这就是矩阵乘向量的含义，结果值就是新座标系的“坐标值/投影值”。弄了半天，发现上面一直是在处理“向量”与“数量”的关系，矩阵只是让这种操作形式上方便罢了。从几何上说一个数量也是座标值，它是直角坐标系上的坐标值，这个直角座标系上有着-2，-1，0，1，2等这样的刻度，2是什么？只不过是在数轴的投影，这个数轴的单位长度为1，基点为0。总之，一个数和一组数是本质，两者是平权的，是问题的两个方面，这样就好理解空间与对偶空间了。

16、d/dxi是切空间的基底，dxi是余切空间的基底，互为对偶。

17、联络实际上是欧式空间中方向导数的推广，欧式空间中的切向量场可以直接求导，但是对于流形就不行了，不同切空间的切向量不能直接相减，因此导数就不存在，这是定义的导数就是协变导数，利用一个移动，把不同切空间的元素“移动”到同一点的切空间，解可以作减法了，这个移动的过程相当于把不同点的切空间联络到一起，这正是联络一词的由来。

18、草坪是流形，草是纤维，草丛就是纤维丛。纤维丛定义在底流形上，加上一个结构化的李群，简单说，底流形是头皮，纤维就是头发，李群就是发胶。

19、纤维丛是拓扑学中的一种理论，把微分流形及以及其上每一点为原点的线性独立的切向量组全体总括在一起，得到纤维丛的概念。纤维丛扩展了矢量丛，矢量丛的主要实例就是流形上的切丛、余切丛。