加载中…【软件技术】四元素和三维坐标变换
(2018-02-07 22:39:44)| 分类： 软件技术 |
一、四元素
1、四元素表示一个三维空间的旋转，它使三维向量旋转的同时还使得向量的模发生变化，这是其几何意义。
2、四元素可用矩阵表示：
h = a + bi + cj + dk ,可以表示为：（a,b,c,d）
共轭: h* = a-bi-cj-dk，可以表示为：（a,-b,-c,-d）
二阶复数矩阵表示，mat = [a - di, -b+ci;
b+ci, a+di],
定义共轭等于矩阵的共轭转置，这个矩阵变成变量与常数矩阵的乘积形式之和的形式，用于表示电子的自旋。
四阶实数矩阵，mat = [a, -b, d, -c; b, a, -c, -d; -d,
c, a, -b; c, d, b, a],定义共轭等于矩阵的转置
四元素用矩阵表示后，矩阵运算等价于四元素运算。
3、一个实数、三维向量可视为四元素，实数a的四元素表示为（a,0,0,0）,三维向量(x,y,z)的四元素表示为(x,y,z,0)
4、运算与特征定义
四元素运算为：四元素为p、q
加法：p+q，元素分别相加
乘法：q p，元素分别相乘
点积：q.p,表示为( p* q + q* p ) / 2
外积：outer(p,q) =（ p* q - q* p ) / 2;
偶积：even（p,q）=( p q + q p ) / 2
叉积：cross（p,q) = ( p q - q p ) / 2
除法：divideby(p,q) = exp（p,-1）q
转置(逆)：trans(p) = exp(p,-1) = p* / ( p.p )
模：abs(p) = sqrt( p p* )
辐角：arg(p) = arccos( scalar(p) / abs(p) )
正则化：normalize( p ) = p / abs(p)
纯量部分：scalar(p) =（ p + p* ）/ 2
向量部分：vector(p) = （ p - p* ）/2
符号数：sgn(p) = p / abs(p)
二、三维坐标变换
1、方向余弦：
方向余弦分别是这向量v（x，y，z）与三个坐标轴之间的角度的余弦，a，b，c分别为v对于x-轴、y-轴、z-轴的角度，则v对于x-轴、y-轴、z-轴的方向余弦alpha、bita、gama，计算公式：
alpha = cos(a) = x/sqrt(x*x+y*y+z*z)
bita = cos(b)= y/sqrt(x*x+y*y+z*z)
gama = cos(c)= z/sqrt(x*x+y*y+z*z)
方向余弦矩阵：有两个三维坐标系P、Q, Q坐标系的三个坐标轴在P中存在三组方向余弦，共九个元素，组成的矩阵
2、欧拉角：
绕“现时”坐标系的x或者y或者z转动的角度，共有三个角度，顺序绕x、y、z各一次（注： 绕x、y、z各一次共有六种可能性），这三个角度称为欧拉角。对应到飞行器的机体座标系上称为偏航yaw（绕飞行器垂直向上的轴旋转）、俯仰pitch（绕飞行器两翼连线水平轴旋转）、横滚roll（绕飞行器从前到后轴旋转）。
欧拉角到四元素的计算公式为：
[q0,q1,q2,q3] = eulerAnglesToQuaternion(roll,pitch,yaw)
{
cosRoll =
cos(roll * 0.5);
sinRoll =
sin(roll * 0.5);
cosPitch =
cos(pitch * 0.5);
sinPitch =
sin(pitch * 0.5);
cosYaw =
cos(yaw * 0.5);
sinYaw =
sin(yaw * 0.5);
q0 = cosRoll
* cosPitch * cosYaw + sinRoll * sinPitch * sinYaw;
q1 = sinRoll
* cosPitch * cosYaw - cosRoll * sinPitch * sinYaw;
q2 = cosRoll
* sinPitch * cosYaw + sinRoll * cosPitch * sinYaw;
q3 = cosRoll
* cosPitch * sinYaw - sinRoll * sinPitch * cosYaw;
}
四元素到欧拉角的计算公式为：
[roll,pitch,yaw] = quaternionToEulerAngles(q0,q1,q2,q3)
{
roll =
atan2(2 * (q2*q3 + q0*q1), q0*q0 - q1*q1 - q2*q2 + q3*q3);
pitch =
asin(2 * (q0*q2 - q1*q3));
yaw =
atan2(2 * (q1*q2 + q0*q3), q0*q0 + q1*q1 - q2*q2 - q3*q3);
}
四元素到旋转矩阵的计算公式
RotationMatrix quaternionToRotationMatrix(q0,q1,q2,q3)
{
RotationMatrix[0][0] = 1 - 2*(q2*q2 - q3*q3);
RotationMatrix[0][1] = 2*(q1*q2 - q3*q0);
RotationMatrix[0][2] = 2*(q1*q3 + q2*q0);
RotationMatrix[1][0] = 2*(q1*q2 + q3*q0);
RotationMatrix[1][1] = 1 - 2*(q1*q1 - q3*q3);
RotationMatrix[1][2] = 2*(q2*q3 - q1*q0);
RotationMatrix[2][0] = 2*(q1*q3 - q2*q0);
RotationMatrix[2][1] = 2*(q2*q3 + q1*q0);
RotationMatrix[2][2] = 1 - 2*(q1*q1 -
q2*q2);
}
1、四元素表示一个三维空间的旋转，它使三维向量旋转的同时还使得向量的模发生变化，这是其几何意义。
2、四元素可用矩阵表示：
h = a + bi + cj + dk ,可以表示为：（a,b,c,d）
共轭: h* = a-bi-cj-dk，可以表示为：（a,-b,-c,-d）
二阶复数矩阵表示，mat = [a - di,
四阶实数矩阵，mat = [a, -b, d,
四元素用矩阵表示后，矩阵运算等价于四元素运算。
3、一个实数、三维向量可视为四元素，实数a的四元素表示为（a,0,0,0）,三维向量(x,y,z)的四元素表示为(x,y,z,0)
4、运算与特征定义
四元素运算为：四元素为p、q
加法：p+q，元素分别相加
乘法：q p，元素分别相乘
点积：q.p,表示为( p* q + q* p ) / 2
外积：outer(p,q) =（ p* q - q* p ) / 2;
偶积：even（p,q）=( p q + q p ) / 2
叉积：cross（p,q) = ( p q - q p ) / 2
除法：divideby(p,q) = exp（p,-1）q
转置(逆)：trans(p) = exp(p,-1) = p* / ( p.p )
模：abs(p) = sqrt( p p* )
辐角：arg(p) = arccos( scalar(p) / abs(p) )
正则化：normalize( p ) = p / abs(p)
纯量部分：scalar(p) =（ p + p* ）/ 2
向量部分：vector(p) = （ p - p* ）/2
符号数：sgn(p) = p / abs(p)
二、三维坐标变换
1、方向余弦：
alpha = cos(a) = x/sqrt(x*x+y*y+z*z)
bita = cos(b)= y/sqrt(x*x+y*y+z*z)
gama = cos(c)= z/sqrt(x*x+y*y+z*z)
方向余弦矩阵：有两个三维坐标系P、Q, Q坐标系的三个坐标轴在P中存在三组方向余弦，共九个元素，组成的矩阵
2、欧拉角：
欧拉角到四元素的计算公式为：
[q0,q1,q2,q3] = eulerAnglesToQuaternion(roll,pitch,yaw)
{
}
四元素到欧拉角的计算公式为：
[roll,pitch,yaw] = quaternionToEulerAngles(q0,q1,q2,q3)
{
}
四元素到旋转矩阵的计算公式
RotationMatrix quaternionToRotationMatr
{
}
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