《离散型随机变量》的教学设计

一、教材分析

   “离散型随机变量”是本章的第一课课。因此，在本节课中，让学生了解本章的主要内容及其研究该内容所用的数学思想方法，对学生明确学习目标和学习任务，提高他们的求知欲望，激发他们的学习兴趣非常重要。对于随机试验，只要了解了它可能出现的结果，以及每一个结果发生的概率，也就基本把握了它的统计规律。为了使用数学工具研究随机现象，需要用数字描述随机现象，建立起连接数和随机现象的桥梁——随机变量。高中阶段主要研究的是有限的离散型的随机变量，因此，本节课的教学任务就是通过具体实例，帮助学生掌握随机变量和离散型随机变量的概念，理解它们的意义和作用，能对一个随机试验的结果，用一个随机变量表示，并能确定其取值范围。

二、目标和目标解析

1.了解本章学习的内容和意义。

2.理解随机变量和离散型随机变量的描述性定义，以及随机变量与函数的关系，能够把一个随机试验的结果用随机变量表示，能够根据所关心的问题定义一个随机变量。

（2）通过具体问题的对比分析，帮助学生理解随机变量有两个类型：

    三、重点和难点解析

本节内容是为求分布列作铺垫的一节概念课。所以要把随机变量和离散型随机变量的概念讲清楚。于是，可以确定的重点、难点是：

重点：用随机变量表示随机试验结果的意义和方法；

    难点：对随机变量意义的理解；构造随机变量的方法；随机变量取值范围的确定。

    四、教学过程

    1.情境引入

   在射击运动中，运动员每次射击的成绩具有什么特征？（随机性）运动员每次射击的成绩是一个什么事件？（随机事件）

如何刻画每个运动员射击的技术水平与特点？如何比较两个运动员的射击水平？如何选择优秀运动员代表国家参加奥运会的比赛才能使得获胜的概率大？解决这个问题要涉及到离散型随机变量的概率分布模型。

 

 

 

 

 

 

 

 

    

 

   引入本章的课题是——随机变量及其分布。

   引言：我们知道，概率是描述随机事件发生可能性大小的度量。运动员的一次射击，就是一次随机试验，只要了解了随机试验可能出现的结果（即每一个结果就是一个随机事件），以及每一个结果发生的概率，我们也就基本把握了它的统计规律。。

2.离散型随机变量

问题1：概率是描述在一次随机试验中某个随机事件发生可能性大小的度量。如掷骰子就是一个随机试验，它有六种可能性结果。你还能举出一些随机试验的例子吗？该随机试验的所有可能结果有哪些？

设计意图：能够判定简单的随机试验，并能列举出所有可能的结果，为用“数”表示这些结果做好准备。

问题2：

   （1）掷一枚骰子，出现向上的点数X是1，2，3，4，5，6中的某一个数；

   （2）在一块地上种10棵树苗，成活的棵树Y是0，1，2，3，…，10中的某个数。

  下面两个随机试验的结果是否可以用数字表示呢？

   （3）掷一枚硬币所有可能的结果；正面向上——1；反面向上——0

   （4）新生儿性别，抽查的所有可能的结果；男——1；女——0

设计意图：通过讨论引导学生发现任何一个随机试验的结果都可用数字进行表示，这样随机试验的结果与数字之间就构成了一个对应关系，这为引入随机变量的概念奠定基础。

问题3：上述四个例子说明，随机试验的结果与数字之间构成了一个对应关系，使得每一个试验的结果都用一个确定的数字表示。这样随机试验的结果就可以看成是一个变量，我们称其为随机变量。你能给随机变量下一个定义吗？

设计意图：引导学生通过分析、综合活动，尝试给随机变量下定义。这种定义方式是描述性的，学生可以凭借自己的理解下定义，只要这种描述比较准确就可以，不一定按照课本的描述性定义。如一般地，如果一个随机试验的结果可以用一个变量表示，这个变量就叫做随机变量，等。

问题4：在（3）和（4）的两个随机试验中，其试验的结果是否还可以用其他人数字表示？

设计意图：通过讨论，得出结论：一个随机试验的结果可以用不同的随机变量表示。

如上面两个试验的结果还可以用-1和1表示等。

   问题5：在掷一枚硬币的随机试验中，其结果可以用1和0表示，也可以用-1和1等其他数字表示，那么，在5次掷硬币的随机试验中，出现“正面向上”的次数可以怎样表示？由此你认为定义一个随机变量需要遵循哪些原则？

设计意图：出现“正面向上”次数，

当一次试验的结果表示为 =0，1，2，3，4，5；

当一次试验的结果表示为 -5，-4，-3，-2，-1，0.

   从使用意义上看，显然把正面向上的次数表示成负数不太合适，而且这样也不方便，因此，构造随机变量时，应当注意一些基本问题：如随机变量应该有实际意义，应当尽量简单，以便于研究。

问题6：随机变量和函数有类似的地方吗？

设计意图：引导学生把随机变量和函数进行类比，使他们了解随机变量的概念实际上也可以看作是函数概念的推广：随机变量和函数都是一种映射，随机变量把随机试验的结果映为实数，函数把实数映为实数。在这两种映射之间，试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当与函数的值域。

例1 判断下列各个量，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由。

（1）每天你接到的电话的个数X；

（2）标准大气压下，水沸腾的温度T；

（3）某一自动装置无故障运转的时间t；

（4）体积64立方米的正方体的棱长a；

（5）抛掷两次骰子,两次结果的和s.

（6）袋中装有6个红球，4个白球，从中任取5个球，其中所含白球的个数η.

设计意图：进行随机变量概念辨析。

例2.写出下列各随机变量可能的取值（或范围）:

(1)从10张已编号的卡片（从1号到10号）中任取1张被取出的卡片的号数X．

(2)一个袋中装有3个白球和5个黑球，从中任取5个，其中所含白球数Y．

(3)抛掷两枚骰子，所得点数之和ξ．

(4)接连不断地射击,首次命中目标需要的射击次数ξ．

(5)某网页在24小时内被浏览的次数η.

(6)某一自动装置无故障运转的时间T

（7）电灯泡的寿命X。

设计意图：训练写出随机变量的取值或范围，并在此基础上通过分类得到“离散型随机变量”的概念。

问题7：在前面所举这些例子中，这些随机变量都有什么特征？

设计意图：引导学生发现这些随机变量的取值都可以一一列出。

问题8：所有取值能够一一列出的随机变量，称为离散型随机变量。离散型随机变量有两类：一类是离散型随机变量的取有限个值的，一类是离散型随机变量取无限个值的（如例2（3）），我们主要研究取有限个值的离散型随机变量。

例3.写出下列离散型随机变量可能的取值:

(1)在考试中需回答三个问题，考试规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得－100分，则这名同学回答这三个问题的总得分ξ的可能取值有哪些？           

(2)本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租车不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费标准为2元(不足1小时的部分按1小时计算)．甲乙两人租车的时间都不超过4小时（两人不一定同时回来），则两人所付的总费用X的可能取值有哪些？

    设计意图：练习写出较为复杂的离散型随机变量取值

问题9：利用随机变量可以表示一些事件。在例1中，你能说出｛X=0｝、｛X=4｝、｛X<3｝各表示怎样的事件吗？“抽出3件以上次品”又如何用X表示呢？

设计意图：引导学生学习用随机变量表示随机事件，使学生能够清晰地说出每一个随机变量取值的实际意义。

问题10：在研究随机现象时，需要根据所关心的问题恰当第定义随机变量。例如，对灯泡的使用寿命，如果我们仅关心灯泡的使用寿命是否不少于1000小时，那么就可以定义如下的随机变量：，与灯泡的寿命X相比较，随机变量的构造更简单，它只取两个不同的值0和1，是一个离散型随机变量，研究起来更加容易。你能根据实际意义，把能对（2）定义一个随机变量吗？

设计意图：引导学生能够根据所关心的问题，定义出离散型随机变量。

例4.请根据所关心的问题，定义一个离散型随机变量：

(1)掷一枚骰子，关心“掷出的点数是否为偶数”；

(2)任意抽取一瓶标有2500 ml 的某饮料，其实际量与规定量之差在±5ml以内为合格；

(3)在某项体能测试中，跑1 km成绩在4 min之内的为优秀；4 min以上5 min以内为合格；某同学体能测试的结果.

设计意图：练习能够根据所关心的问题定义一个随机变量。

3.小结：

  以上我们通过一些具体实例研究了随机试验的结果可以用数字表示，引进了随机变量的概念，并对如何根据实际需要定义一个离散型随机变量，并判断它的所有可能取值进行了系统的研究。实际上随机变量的每一个取值，都表示一个随机事件，每一个随机事件发生的可能性大小的度量就是概念，如掷骰子试验中就表示点数为1的概率为，也就是如果我们能够知道每一个随机变量取值的概率，也就把握了这个随机现象的基本规律了。我们学习随机变量就是为了研究它的概率，这就是我们下节课要学习的内容。