农夫分牛问题·巧智隐藏的数学思维

这是著名的农夫分牛问题。在许多趣味数学书中有收录，但是都没有给出具体解题的思路和背后隐藏的数学问题。

农夫养牛17头，临死前要把这17头牛分给自己的3个儿子。遗嘱是这样的：老大得1/2，老二得1/3，老三得1/9。既不能把牛杀死，也不能卖了分钱。农夫死后，兄弟3人怎么也想不出办法。兄弟3人只好向邻居请教。邻居想了想说：我借给你们一头牛，就好分了。这样，老大得到18的1/2为9头，老二得到1/3为6头，老三得到1/9为2头，合计刚好为17头，剩下1头牛还给邻居。

农夫的问题得到解决，邻居的聪明才智令人赞扬。

我们再细细思考一下，这样分牛合理吗？也就说，老大、老二和老三得到的牛数是否真的农夫的遗嘱丝毫不差？

我们来计算一下这个问题。

第一次分后，老大得到17×1/2头牛，老二得到17×1/3头牛，老三得到17×1/9头牛。

由于牛不能分割，分数的分法在这里不起作用。这就是农夫儿子想不出办法的原因。

为什么会出现分数而不是整数呢？问题就出在这里，按照农夫的遗嘱，第一次分后牛不能够把17头牛完全分完，还剩下17/18头牛。

每个人必须按照遗嘱继续分掉剩下的牛。

第二次分后，牛也没有分完，还剩下牛17/18²。每个人按照遗嘱继续分牛。

继续分下去，这是一个收敛的无穷级数。

也就是说，老大得到的牛头数为

17×1/2＋17/18×1/2＋17/18²×1/2＋7/18³×1/2＋……

老二得到的牛头数为

17×1/3＋17/18×1/3＋17/18²×1/3＋7/18³×1/3＋……

老三得到的牛头数为

17×1/9＋17/18×1/9＋17/18²×1/9＋7/18³×1/9＋……

计算级数1/18＋1/18²＋1/18³＋……=1/17

我们看到，经过级数计算的结果与邻居分牛方法完全一致。