(2) x^86≡x^2≡6 (mod 29)，试算得到x≡±8 (mod 29)。

    (3) x^39≡x^3≡3 (mod 13)，x^12≡3^4≡3 (mod 13)，与费马小定理矛盾，因此无解。

三、(1) 256x≡179 (mod 337)，128x≡258，64x≡129≡466，32x≡233≡570，16x≡285≡622，8x≡311≡648         x≡81 (mod 337)。也可以用辗转相除法求解。

    (2) 1215x≡560 (mod 2755)，243x≡112≡663 (mod 551)，81x≡221≡1323，27x≡441，3x≡49≡600，           x≡200 (mod 551)。

四、(1)5987是素数，计算(3766/5987)=(2/5987)(1883/5987)=-(1883/5987)=(5987/1883)=(338/1883)=              (2/1883)(169/1883)=-1，注意到169=13^2。因此原方程无解。

    (2)(3149/5987)=(5987/3149)=(2838/3149)=(2/3149)(1419/3149)=-(3149/1419)=-(311/1419)=                  (1419/311)=(175/311)=(7/311)=-(311/7)=-(3/7)=(7/3)=1，原方程有2解。

五、用无穷递降法，假设有非零正整数解，取使得z最小的一组。

      ①x,z同奇偶，如果都是偶数，则4|x，2|z，2|y，可约分得到更小一组解，矛盾，因此x,z为奇数。

      ②(z^2-x)(z^2+x)=8y^4，z^2-x与z^2+x只有公约数2，一个是2a^4，一个是4b^4。得2z^2=2a^4+4b^4。

      ③z^2=a^4+2b^4，a,z是奇数，b是偶数，(z-a^2)(z+a^2)=2b^4，左端两个因子只有公约数2。

      ④z-a^2=2u^4, z+a^2=v^4或z-a^2=u^4, z+a^2=2v^4，

      ⑤若④的第一种情况发生，得到v^4-2u^4=2a^2, 2|v, 8w^4-u^4=a^2，与a是奇数矛盾。

      ⑥若④的第二种情况发生，得到2v^4-u^4=2a^2, 2|u, v^4=8w^4+a^2回到原方程。

      ⑦v|b, b|y, y<z, 由无穷递降法，原方程无解。

六、(1) 487是素数，487=2*3^5+1。要证10是模487的原根，只需证10^243, 10^162模487不是1。

      ①(10/487)=(2/487)(5/487)=(5/487)=(487/5)=(2/5)=-1。因此10^243≡-1 (mod 487)。

      ②162=128+32+2，10^2≡100 (mod 487)，10^4≡260, 10^8≡394, 10^16≡370，10^32≡53, 

        10^64≡374, 10^128≡107，10^162≡107*53*100≡232。因此10是模487的原根。

    (2)只需计算10^486模487^2余1。用(a;b)表示一个模487^2余487a+b的数。以下计算是模487^2

      ①486=256+128+64+32+4+2。

      ②10^2≡(0;100)，10^4≡(20;260), 10^8≡(311;394)，10^16≡(425;370), 10^32≡(179;53)

      ③10^64≡(473;374)，10^128≡(42;107)，10^256≡(245;248)。

      ④10^384≡(160;238)，10^96≡(12;342)，10^6≡(105;189)，10^480≡(277;67)，10^486≡(0;1)。

七、(1)n(n+1)=2x^2，(2n+1)^2-8x^2=1，此佩尔方程的最小正整数解是(3,1)，因此一般解对应的2n+1是             ((3+√8)^k+(3-√8)^k)/2，有无穷多解。

    (2)这个序列是递归数列，满足递归方程x_{k+2}=6x_{k+1}-x_k，根据首项a_0=1，a_1=3，得a_2=17，

      a_3=99，对应的n=49。

八、多项式等于(3x^5+5x^3+7x)/15，只需证明分子总是被3或者5整除。

    ①如果3|x，则显然分子被3整除。否则由费马小定理，模3分子同余于2x+x≡0。

    ②如果5|x，则显然分子被5整除。否则由费马小定理，模5分子同余于3x+7x≡0。