现在的初中数学教材，对于有理数和实数的定义，采用的并不是常见的“属+种差”式定义，而是用的分类法，整数和分数统称有理数，有理数和无理数统称实数。这似乎有悖于定义“对事物的本质特征作概括”的初衷。

至于无理数，我们的教材给出的则是“无限不循环小数”。从这个描述出发，许多老师和学生都把是“无限不循环”看作了无理数的本质特征。可这带来了一个问题，比如π和根号2，虽然是可化为“无限不循环”小数的数，可显然，化为“无限不循环”小数的做法其实并不符合数学的简约性原则。更让人为难的是，判断一个数是否是无限不循环的依据本身是个让人为难的事情，于是就出现了一些奇葩的说法——“看不出它是谁的平方”或者“用计算器检验”。显然，“看不出”和“计算器”都有可能因为自身或设备的能力局限而影响判断的结果。那么，到底什么才是无理数的本质特征呢？

这得从什么是有理数的本质特征说起：有理数（rational number）是一个整数 a 和一个非零整数 b 的比(ratio)，通常写作 a/b，故又称作分数。希腊文称为 λογο，原意为“成比例的数”(rational number)。也正是从这个意义上说，无理数(irrational number)，当中的“理”字其意为“比”，即不可用两整数相比之数。也就是说，无理数是指实数范围内不能表示成两个整数之比的数。初中生都知道，根号2是个无理数是可以证明的。当然，说无理数就是10进制下的无限不循环小数本身也没有错。而且，按照“数以值分类”的原则，上述说法对于数的分类也不会有任何的困难。但明了了上面的这些内容，我们也就不会再以“看不出”和“计算器”为依据来判断一个数是有理数还是无理数了。

也就是说，我们要判断一个数是有理数还是无理数，正确的做法不是把它化为小数，看它到底是“有限小数”、 “无限循环小数”还是“无限不循环小数”，而是要倒过来，看看它能不能化作“可比数”即分数。任何“无限循环小数”都是可以化为分数的，你只需要设它等于x，再做一次乘法、一次减法、一次除法就可以将其化为分数。因为博客无法显示数学符号，在此我也就不举例了，相信这对于任何一个数学老师来说都不是件困难的事情。

所以有上面的话，完全因为昨天听的一节数学公开课有感而发。明白了无理数其实是“可化为无限不循环小数的数”，它的实质应该是“不可比”的数，再去出类似“无理数是无限小数”这样的判断题就没有多大意义了。