人教版教材P87例4，圆O的直径AB为10cm，弦AC为6 cm，角ACB的平分线交圆O于点D，要求BC、AD、BC的长。

（由于我的博客无法发数学符号和图形，在此我将符号作适当修改，将图形省略，尽可能用文字加以说明。博主注）

教材的解决方案是连接半径OD，有学生提出：可以不用作辅助线，直接由角平分线得出两个圆周角相等，进而得出其所对的弦也相等。

这似乎是一个很振奋人心的发现，如果这样一来，不但不用作辅助线，而且求证的过程也因此而大大简化。不但如此，我们似乎还可以进一步得到一个结论：在圆心角、弦、弧、弦心距、圆周角之间，只要知道其中一组量相等，就可以推出其余四组量分别相等，也就是所谓的“知一推五”——这实在是一个了不起的发现。

到底是教材出了错呢？还是编者因为有什么特别的考虑而舍易求难呢？

当我们将其他的东西完全舍去，只留下一个圆和圆内的一条弦（非直径）的时候，我们很容易发现：虽然这条弦同侧所对的圆周角是相等的，但在另一侧它所对的圆周角与之互补，也就是说它们并不相等。由此可见，在同圆或等圆中，由弦相等要推出圆周角相等是不可能的。

那么反过来呢？当我们通过作图实验后，会很快发现在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弦的确是相等的。也就是说，在同圆或等圆中，从圆周角相等可以推出弦相等，但由弦相等不能推出圆周角相等，命题的逆命题不成立。

既然在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弦相等，那为什么教材又舍易求难呢？我们应当知道：正确的命题叫做真命题，但并非真命题就是我们可以拿来作为证明其他命题的依据的定理，事实上，为了保证我们几何证明体系的纯洁性严谨性，我们只将那些在教材上加以证明了的，并最终用黑体字予以了确认的真命题才视为定理。如果我们把所有被前人证明过了的真命题都视为可作为证明其他命题依据的定理，那岂不是乱套了吗？

所以，在这道例题中，教材没有选择看起来似乎更简单而且正确性也没问题的方法是正确的，也是严谨的。几何证明的要义，其实就在“言必有据”上，作为证明此命题依据的命题，并没有经由教材确认为定理就草率地使用，是不负责的，也是不严谨的。

不知我的想法对否？