加载中…10-3 DFT的周期性质
(2013-12-03 23:51:17)
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负频率时域信号的周期性数字信号处理 |
不像其它三种傅里叶变换，DFT将时域和频域看作是周期性的。由于用于数字信号处理的多数
信号都不是周期性的，会引起困惑和不便。然而，如果你想要用到DFT的话，就必须遵循DFT
的观点。
图10-8表示两个不同的时域信号的说明。第一个，看看上部那个信号，时域看作N个点。这说
明在科学试验与工程应用中如何获得数字信号。例如，128个样本可能是在常规时间间隔的参
数取样而得到。样本0不同于样本127，因为它们是在不同的时间取得的。由此没有理由认为
左边的信号依赖于右边的信号。
不幸，DFT不是这么看的。如下方的图所示，DFT将这些128个点看作是无穷长周期信号中的
一个单个周期。这意味着所得到的信号的左边连接着复制信号的右边。同理，所得到的信号
右边连接着相等周期的左边。也可以认为所得到的信号右边摺回并连接其左边。这样看来，
样本127号的下一个是样本0号，正如样本43号的下一个是样本44号那样。这是循环性的，相
当于把信号看作是周期性的。
这种周期性的最严重的后果是时域混淆。为了说明这一点，假定取一个时域信号，通过DFT来
求其频谱。我们可以直接通过频谱来重构原始时域信号，但，整个过程不是很有趣的。取代
办法是在进行反DFT变换之前，用某种方法修改频谱。例如，所选取的频率可以消掉，变为振
幅或相位、位移等等。这些在数字信号处理中是常有的事。不幸，在频域中通过这些改变来
建立时域信号，对单个周期而言是太长了。这就会强迫信号从一个周期溢出到相邻周期去。
当时域看作是循环的话，信号溢出到右边时，突然似乎是重新出现在信号的左边，反之亦然。
那就是说信号的溢出部分，在时域中的新位置，信号会混淆它们本身。如果在新位置恰好
包含一个已经存在的信号，混合相加，产生信息的失真。循环卷积产生自频域中的乘法（前
面第9章已经讲过）是一个这种混淆类型的很好的例子。
频域中的周期性大致表现为相同方式，只是更为复杂。图 10-9 是一个例子。上部的图表示频
谱的大小和相位，看作由N/2+1个样本组成，其频率覆盖0到0.5倍取样率。这是最简单的看
待频谱的方法，但未能解释DFT的许多性质。
下部两个图表示DFT如何看待频谱作为周期性的。关键性质是从0到0.5的频谱有一个频率镜像
，它们是从0到 - 0.5 。此负频率镜像，其大小和相位稍有不同。其大小是左右翻转。其相位
是左右翻转且改变符号。回忆一下，这两种类型的对称各有其名：大小称为偶信号（偶对称），
相位称为奇信号（奇对称）。如果频谱转换为实部和虚部，则实部总是偶对称的，而虚部总是
奇对称的。
我们来考虑一下负频率，DFT看待频域为周期性的，周期为1倍取样率，即如 -0.5到0.5，或 0
到1.0 。用样本数来表示，就是频域周期的长度等于N ，与时域相同。
频域的周期性影响到频域混淆，完全类似于前面讲过的时域混淆。设想一下对应着某些频谱的
一个时域信号。假定时域信号被修改了，显然其频谱也会改变。如果被修改的频谱不适应所提
供的空间，会被推入下一个相邻周期。如前所述，混淆将引起两个问题：频率不在其应该所处
的位置，以及不是同一周期的频率会叠加从而破坏了信息。
频域混淆比时域混淆更加难于理解，因为频域中周期模式更为复杂。考虑一个单一频率被强迫
在频域中从0.01移动到0.49 。那么，相应的负频率就是从 -0.01 移动到 -0.49 。当正频率越过
界限0.5时，负频率就跨越-0.5界限。
由于频域是周期性的，那么，同样的事件也发生在其它的周期，例如从0.5到1.5 。当正频率跨
越1.5从左到右的克隆，对应着负频率从0.5从右到左的克隆。现在想象一下，如果你只能看到
0到0.5的频带，看起来的情况怎么样？离开右边，重复出现在右边，但向着反方向移动。
图10-10表示当仅看一个单一周期时在时域和频域中的混淆是如何出现的。图a）是当时域信号
的一端太长而不能局限在一个周期内，突出端会被切去并粘贴到另一端。对比一下，频域中信
号溢出周期，突出端被摺叠起来。不管混淆段在何处结束，都会加到原先已有信号，从而破坏
了 信息。
我们来仔细看看叫做负频率的怪物。它们只是数学中的奇异神器呢还是真有实际意义呢？
图10-11就表示它们到底是什么。图 a）是由32个样本组成的离散信号。设想你想要去求对应
于32点的频谱。
为了容易一些，已经告诉你，这些点是表示余弦波的。换言之，你必须求频率和相位移
（f 和
如果这时停下来，你只答对问题的 1/3 。因为还有两个东西没有答出来。如图 c）第二个答案
是 f = -3 和 θ = π/4。即使负频率使你反感，也不会改变数学上对所定义的问题有其正确的解
这一事实。任何正频率正弦波都可以对应一个负频率正弦波。这无论对连续信号还是离散信号
都适用。
第三个答案不是单一的而是无穷多个解的家族。如图 d），正弦波（ f = 35 和 θ = -π/4） 通
过所有的离散点，因此这是正确的解。事实表明在样本与样本之间摆动也没什么不可以，
尽管令人困惑，但作为真正答案仍然合法。类似地，f = ±29, f = ?35, f = ?61, 和 f = ?67 也都是点与点之间摆动的多个解。这第三组答案 ，与其说对原始信号的要求是离散的，不如说是
连续的。对于连续信号，无所谓样本之间摆动的问题，因为没有样本。
三种解的每一种对应着频谱的不同部分。对于离散信号，第一种解对应着0到0.5取样率的频率。
第二种解，对应频率 0 到 -0.5 。第三种解对应低于-0.5和高于0.5的无穷多复制频率。对于
连续信号，第一种解导致频率从0到正无穷。第二种解导致频率从零到负无穷。
许多数字信号处理技术不要求使用负频率，或者离散傅里叶变换的周期性的了解。例如上一章
讲过的两个普通例子：谱分析和系统的频率响应。对于这些应用将时域看作是样本从0到N-1
，以及频域从0到取样率的一半的扩展而言已经完全满意。因为它们从不产生一个周期移动到
另一个周期的问题，所以可以用较简单的看法。由于这种局限，单个周期和全部周期信号没有
什么区别。
但是，某些情况不得不考虑周期与周期之间的溢出。前面已经讲过两个：循环卷积和模拟至数字
转换。在循环卷积中，频谱相乘产生时域信号的卷积。如果产生的时域信号太长而超出一个周
期范围，从而溢出到相邻的周期，产生时域混叠。相反的是，模拟至数字转换中，产生频域混
叠的例子。在时域中采用非线性作用，即，将连续信号改变为离散信号的取样。问题是，原始
模拟信号的频谱会变得太长，不适应于在离散信号谱之内。当我们强迫谱的端部伸出到相邻的
周期，就会产生问题。我们来看看另外两个例子，其DFT的周期性质是很重要的：信号的压缩
与扩展，以及 振幅调制。
下一节：压缩与扩展，多率方法
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