x[n+s] ↔ MagX[f] 与 PhaseX[f] + 2πsf （其中 f 被表达为取样率的比例值,0到0.5之间;

s=样本个数）。

用语言叙述就是：时域中s个样本的一个位移使其大小不变，但其相位要加一个线性项: 

2πsf。

我们来看一个例子，看看它是怎么进行的。

图10-3表示相位如何受到时域中波形左移或右移的影响。大小不包括在本例中，因为它在时

域位移中保持不变。图（a）到（d），波形逐渐移位，从样本128峰中心到样本0中心。图中

顺序考虑到DFT将时域看作是循环（环形）的；当波形右边的退出部分，在左边又重复出现。

图10-3所示的时域波形对称于垂直轴，即，左右边彼此互为镜像。第7章曾讲过，这种对称

类型的信号叫做线性相位，因为它们的频谱相位是一直线。类似地，不具有左右对称的信号

叫做非线性相位，与直线相位不同。图（e）到（h）表示了图（a）到（d）的信号的相位。

如第7章所述，这些相位信号是已解包（解摺叠）的，允许它们没有不连续同时保持其值在

π 和 -π之间。

当时域波形向右移位时，相位保持直线，但斜率减小。当时域向左移位时，斜率增加。这是

本节你要记住的主要性质；时域位移对应着相位斜率的变化。

图（b）和（f）表示相位完全为零的特殊情况。这发生在时域信号对称于样本零的情况。初看

起来，图（b）对称不明显；而是信号出现在对称于样本256（即N/2）。记住DFT将时域看作

是循环的，样本号零理应接在样本号N-1之后。即，对称于样本号零也就对称于样本号N/2，

反之亦然。当用不把时域看作是周期的傅里叶变换家族成员时（例如DTFT），必须对称于

样本号零，以产生零相位。

图（d）和（h）有些令人迷惑不解。首先设想（d）是由于波形（c）稍稍向右移位而形成的。

这意味着（h）的相位比（g）有更负一些的斜率。此相位如直线1所示。其次，设想（d）是

由于从（a）开始向左移位而形成的。这样就使相位应该比（e）更正一些，如直线2所示。

最后，注意到（d）对称于样本号N/2，因此，有一个零相位，如直线3所示。这3个相位中，

哪个是正确的？都正确，这决定于 π 和 2π相位含糊（第8章已经讲过）如何安排。例如，直

线2中的每个样本不同于直线1中的对应样本，相差2π的整数倍，使它们相等。为了使直线3

和直线1、直线2产生联系，π含糊也必须予以考虑。

为了明白相位性质为何是那样，设想一个波形向右位移一个样本。意味着组成波形的所有成分

波也向右位移一个样本。图10-4表示成分波的两个正弦波。图（a）中正弦波有很低的频率，

在位移一个样本时仅占整个周期的一小部分。图（b）中的正弦波频率为取样率的一半，这是

取样数据中可能的最高频率了，此频率的位移一个样本等于1/2周期或 π 弧度。即，当位移如

果用相位变化来表示的话，它就正比于被位移的正弦波波的频率。

例如，考虑一个对称于样本号零的波形，因此有零相位。图15-a表示当信号左移或右移时，其

相位是如何变化的。在最高频率即其频率为取样率之半时，每左移一个样本时，相位增加π；

右移一个样本时，则相位减小π。零频率时没有相位移，所有频率之间形成一条直线。

以上所有举过的例子都是线性相位。图15-b表示非线性相位对同样方法的反应。例中非线性相

位是带有两个矩形脉冲的直线。当时域中有位移时，非线性特点是在斜率变化中简单叠加。

在时域波形位移时，实部和虚部会怎样？回忆一下直角坐标中频域信号，几乎使人不可理解。

实部和虚部典型的外貌是没有可见模型的随机振荡。当时域中信号有位移时，实部和虚部的

摆动模型变得更加振荡和难于辨认。不要浪费时间试图去了解这些信号，或它们在时域中有位

移时，频域中会如何变化。

图10-6是相位包含什么信息和大小包含什么信息的有趣演示。波形（a）有两个非常特别的地

方：样本号55的上升边沿和样本号110的下降边沿。当信息被编码成波形时，边沿非常重要。

边沿显示了事件的发生，划分出什么在左边，什么在右边。正是时域中被编码的信息的纯粹形

状。开始时，DFT取图（a）的信号，频谱转换为极坐标形式。为了求图（b）的信号，相位用

-π 与 π之间的随机数来代替，反DFT用来重构时域波形。换言之，图（b）主要包含大小的信

息。类似地，以小随机数代替大小来求出（c）（在进行反DFT之前）。这就使（c）的重构基

本上唯一包含相位的信息。

.

结果如何？边沿位置清晰地如（c）所示，但在（b）完全不见了。这是因为当许多正弦波在同

一位置上升形成一个边沿，唯一可能是它们的相位互相协调。简言之，多数时域中波形信息被

包含在相位中，而不是包含在大小中。这可以对比一下具有频域中编码信息的信号，如音频信

号。这些信号中的大小是最重要的，相位仅起到很小的作用。后面的章节将看到这种类型提供

了设计滤波器和其它处理信号方法的依据策略。了解信息在信号中如何表现总是成功的DSP的

第一步。

为什么左右对称于零相位（或线性）？ 图10-7提供了答案。这种信号可以分解为左半边和右

半边，如图（a）（b）（c）。对称中心的样本（此时即零）被分成左右各半，两边彼此成

镜像对称。它们的大小相同如图（e）（f），而相位符号相反，如（h）（i）。有两个重要

概念，首先，左右对称的信号必是线性相位，因为左边的非线性相位会抵消非线性相位。

其次，（b）翻转变为（c）。时域中左右翻转，大小不变，只是改变相位中每一点的符号。

同理，改变相位的符号，则时域中信号左右互为翻转。如果信号是连续的，则翻转对称于零。

如果信号是离散的，，则翻转同时对称于样本零号和样本号N/2。

改变相位符号是常见操作，即给出它的名称和符号。名称是复数共轭的，其表示法是在变量的

右上角加一个星号。例如，如果 X[f]包含  MagX[f ] 和 Phase X[f] , 则 X*[f] 叫做复数共轭并包含  MagX[f]  和 PhaseX[f] 。在直角坐标中，复数共轭求法是单单保留实部，并改变虚部正负号。用数学术语来说，就是如果X[f]包含 ReX[f] 和  ImX[f] ,则 X*[f] 就是 ReX[f] 与 -ImX[f] 。

这里介绍复数共轭用于DSP的若干例子。如果 x[n] 有一个X[f]的傅里叶变换，则x[-n]有一个

 X∗[f]的傅里叶变换。用语言来说，时域中的左右翻转对应着相位符号的改变。另一个例子，

回忆第7章中“相关”可以用卷积来进行。可用信号中的一个进行左右翻转来达到。用数学

形式，当 a[n] * b[-n]相关时 a[n] * b[n]就是卷积。在频域中这些操作分别对应着 A[f] × B[f] 和 A[f] × B*[f]。最后一个例子，考虑一个任意信号 x[n] , 及其频谱 X[f] 。频谱可以乘上其复数共轭，即X[f] × X*[f]，来使它变为零相位。用话来说，任何相位X[f]的发生可通过加上它的反面来取消。（记住，频谱相乘时，对应着相位相加）。在时域中，这意味着x[n] * x[-n]（信号与其左右翻转版的卷积）将会左右对称于样本号零，不管 x[n]是什么。

对许多工程师和数学家来说，这种操作就是DSP。如果你想和这群人交流，就得使用他们的

语言。