微分几何基本概念直观图示

abada


坐标线  基矢逆变基矢  协变基矢  度规系数  联络系数  协变微分规范项  曲率短程线主坐标线  联络系数与度规系数的关系

http://s14/bmiddle/3fd642cftdf927ecdffdd&690

http://s8/mw690/3fd642cftdf9281692ad7&690

为何有逆变基矢或矢量还定义一套协变基矢或矢量?

看图，如果只有一套逆变基矢，切平面内任意矢量也可用这套逆变基矢分解，或合成确定，这没有问题。

而对任意两个矢量的标积，想也表示为基矢的分量组合式，则除非是逆变基矢皆正交，否则，如果逆变基矢斜交，则上述表示将很繁琐。

试试：若平面上基矢g_1与g_2正交，则AB=（a1g_1 +a2g_2)( b1g_1 +b2g_2）=  a1b1|g_1|^2+ a2b2|g_2|^2

若两逆变基矢斜交，则表达式就很繁琐。为了简单，就引入一套协变基矢，引入的原初目的仅仅是为了书写方便。不怕书写麻烦，用一套逆变基矢也足够了。协变基矢完全由逆变矢组而定义决定。这定义见上面链接中的图一的最后。这样定义出一套协变基矢，与原来那套逆变基矢一起运用，任何矢量有两套分解法。这样好处是：任意两矢量的标积表达式就可以非常简洁：

AB= a_μ g^μ  b^ν g_ν   =  A_μ B^ν ，

同理还等于A^μ B_ν  .

http://s7/mw690/3fd642cftdf9549126e46&690




（当然，这简洁性一部分来自于爱因斯坦求和约定，用上述一个单项式表示一个多项式。如同张量书写可使一个方程表示一个甚至几族方程组）。

怎样在曲面内几何操作判断曲面曲率

http://s1/mw690/3fd642cftdfbe5ea6f7c0&690