第四节　缓和曲线
缓和曲线是设置在直线与圆曲线之间或大圆曲线与小圆曲线之间，由较大圆曲线向较小圆曲线过渡的线形，是道路平面线形要素之一。
缓和曲线的主要特征是曲率均匀变化。
一、设置缓和曲线的目的和条件
（一）设置缓和曲线的条件
《公路工程技术标准》规定：直线与小于不设超高的圆曲线最小半径相衔接处，应设置缓和曲线（回旋线）；四级公路的直线与小于不设超高的圆曲线最小半径相衔接处，可不设置缓和曲线（回旋线），用超高、加宽缓和段径相连接。
（二）设置缓和曲线的目的
1．有利于驾驶员操纵方向盘
2．消除离心力的突变，提高舒适性
3．完成超高和加宽的过渡
4．与圆曲线配合得当，增加线形美观
二、缓和曲线的性质
（一）汽车转弯时行驶的理论轨迹方程
 
图 2—4    汽车进入曲线行驶轨迹图
假定汽车是等速行驶，驾驶员匀速转动方向盘，当方向盘转动角度为φ 时，前轮相应转动角度为φ，通过理论推导得出弧长和曲率半径的关系有:              
  = 
式中：K为小于1的系数；      ω— 方向盘转动的角速度（rad /s）；  
      t — 行驶时间（s）；   d — 汽车前后轴轮距；
 －汽车匀速行驶的速度（m/s）。
    鉴于、d  、K、ω均为常数，可令 C=  ，则有：
 =     ；   此为汽车车轮行驶的轨迹方程。   
 式中： —  汽车自直线终点进入曲线经 t 时间后行驶的弧长，m；
      ρ  — 汽车行驶经 t 时间后行驶的弧长   处相对应的曲率半径，m；
      C— 常数
（二）回旋线作为缓和曲线
根据回旋线的数学定义：其曲率半径 随曲线上某一点至该曲线起点之距离成反比。即：
 ρ=A2  式中A为曲率与曲线长度的比例常数；
若令 ，通过对汽车行驶理论方程与回旋线基本方程的比较可知，它们的形式是相符的，因此《标准》规定缓和曲线采用回旋线。
回旋线参数 A 的确定：R LS = A2                    A=
式中：R— 圆曲线半径  m ；
        LS— 缓和曲线长度 m ；
三、缓和曲线最小长度
缓和曲线最小长度应满足：（1）使汽车平顺地由直线段过渡到到圆曲线段，并对离心力的增长有一定的限制；（2）驾驶员操纵方向盘所需的必要时间以利驾驶员顺适地操纵放向盘；（3）满足道路设置超高与加宽过渡的要求。
（一）控制离心加速度增长率，满足旅客舒适要求；
通过推导有： = 0.035
式中：  — 缓和曲线最小长度 ,m ； V — 计算行车速度, Km/h ；
       R — 圆曲线半径,m 。
（二）根据驾驶员操作方向盘所需经行时间
           有：  ≥  t =       
一般认为汽车在缓和曲线上行驶时间最少 3s ，则有：  min =    （米）
（三）根据超高渐变率适中
超高渐变率（即超高附加纵坡）是指超高后的外侧路面边缘纵坡比原设计纵坡增加的纵坡。
《标准》规定了适中的超高渐变率，由此可导出计算缓和段最小长度的计算公式：
                     
式中：LS－缓和曲线最小长度；
      b′－超高旋转轴至路面外侧边缘的距离；
      △i－超高旋转轴外侧的最大超高横坡度与原路面横坡度的代数差；
      p－超高渐变率，参考《标准》选用。
（四）从视觉上应有平顺感的要求考虑
按视觉考虑，从回旋线起点至终点形成的方向变位最好是30～290 之间。                                                                                                                                            
 
图(2—5)可知，方向变位角β为：                                         
       β=   （2—12）其中： 30 ≤β≤290      S 1≤LS ≤S 2  
我国《标准》规定按设计速度来确定缓和曲线最小长度，同时考虑了行车时间和附加纵坡的要求，各级公路的缓和曲线最小长度如下表
各级公路的缓和曲线最小长度                   
公路等级 高速公路 一 二 三 四
设计行车速度（Km/h） 120 100 80 100 80 60 80 60 40 30 20
缓和曲线最小长度（m） 100 85 70 85 70 50 70 50 35 25 20
注：四级公路为超高、加宽缓和段
四、直角坐标与缓和曲线常数
（一）切线角
1．缓和曲线上任意点的切线角
缓和曲线的切线角是指缓和曲线上任意点的切线与该缓和曲线起点的切线所成夹角。
通过推导可得：βx ＝
2．缓和曲线的总切线角
当到达缓和曲线终点时,即当    =ＬＳ   β=   
式中 :   －从缓和曲线起点ＺＨ（ＨＺ）点至缓和曲线上任意一点之弧长，m；                                        ＬＳ－缓和曲线全长，m；
　Ｒ － 缓和曲线终点处ＨＹ（ＹＨ） 点的半径，即圆曲线半径，m；
　βX－ 缓和曲线任意一点的切线角，rad  ；
    β －缓和曲线终点处ＹＨ（ＨＹ）的切线角，rad ；      
 
图2—6    缓和曲线的直角坐标     
（二）缓和曲线直角坐标
由dx  = d ×  Sinβx 、dy  = d × Cosβx  ，将Sinβx 和 Cosβx 用函数幂级数展开，同时将 βX＝ 代入并分别对其进行积分，略去高次项得缓和曲线直角坐标为：
                x=     
     y =
当    = LS   时，缓和曲线终点坐标：                                                                       
             x h = LS--         
     y =  
    式中： x —缓和曲线上任意 一点的横坐标；
          y —缓和曲线上任意 一点的纵坐标；
          x h—缓和曲线终点处的横坐标；
          y h—缓和曲线终点处的纵坐标；
                     其余符号同前。
（三）缓和曲线常数
为了在直线和圆曲线之间设置缓和曲线，必须将原来的圆曲线向内移动，才能使缓和曲线的起点切于直线上，而缓和曲线的终点又与圆曲线相切，见图。
 
 
带有缓和曲线的平曲线图示
1．p 和q
设有缓和曲线的圆曲线起点（终点）至缓和曲线起点距离为q、圆曲线内移距离为p，内移圆曲线半径为R，通过推导可知：   p = ；q =  
2．T d  和 Tk 
若缓和曲线起点、终点的切线相交，交点至缓和曲线起点的距离为T d 、至缓和曲线终点的距离为 Tk  ，则可得：
T d = Xh－ Yhcotβ 展开并化简得：         
T k =Yh  -Yhcscβ  展开并化简得：         
3．C h  和 Δh                                                  

见上图：
缓和曲线的长弦C h（又叫动弦）与横轴的夹角为Δh ，即缓和曲线的总偏角。
缓和曲线上任意点的偏角：  Δ= (   )2   ；当   = LS 时：   Δh=     
缓和曲线的长弦：Ch=Xh secΔh       
        
缓和曲线终点的切线的确定还可以采用以下的方法：将仪器置于HY点（或YH点），照准ZH点（或HZ点）归零，拨，即为HY点（或YH点）的切线。
（四）有缓和曲线的公路平曲线
公路平面线形的基本组合是：直线—缓和曲线—圆曲线—缓和曲线—直线，其带有缓和曲线的平曲线几何元素的计算公式如下：
单交点（对称形）
（1）缓和曲线常数：
缓和曲线的切线角：     β =   
未设缓和曲线圆曲线的起点至缓和曲线起点的距离：q =  
设有缓和曲线后圆曲线的内移值：  P=     
（2）平曲线几何要素计算                                           
平曲线切线长：   TH = (R+p) tg + q
平曲线中的圆曲线长： L′=(α－2β)   R
平曲线总长： LH = (α－2β)   R +2Ls
外距：EH =(R+p) Sec －R  
超距：DH =  2TH －LH
五、缓和曲线省略条件
（一）缓和曲线的省略条件
（1）四级公路无论圆曲线半径的大小可不考虑设计缓和曲线。
（2）在直线和圆曲线间当圆曲线半径大于或等于 “不设超高最小半径”时，缓和曲线无条件省略。
（3）半径不同的圆曲线径相连接处，应设置缓和曲线，但符合下述条件时可以省略不设缓和曲线。
小圆半径大于所列“不设超高最小半径”时。
小圆半径大于表（2—8）所列“小圆临界半径”，且符合下列条件之一时：
1、小圆曲线按规定设置相当于最小回旋线长的回旋线时，其小圆与大圆的内移值之差 不超过 0.1m
2、 设计速度≥80 Km/h  时，大圆半径（R1）与小圆半径（R2）之比小于1.5。
3、 设计速度＜80 Km/h 时，大圆半径（R1）与小圆半径（R2）之比小于 2 。
                       复曲线中的小圆临界半径                    表2—8
公路等级 高速公路 一级公路 二级公路 三级公路
计算行车速度
(km/h) 120 100 80 100 80 60 80 60 60 30 
临界曲线半径（m） 2100 1500 900 1500 900 500 900 500 250 130 
 
（二）缓和曲线的运用
设置缓和曲线的作用是缓和人体感到的离心加速度的急剧变化，且使驾驶员容易做到匀顺地操纵方向盘，提高视觉的平顺度，保持线形的连续性。
在运用回旋线时应注意：
1.当圆曲线半径 R 较大或接近于100m 时，回旋线参数应取等于R；当 R小于100m时，则取 A 等于或大于R。
2.当圆曲线半径 R 较大或接近于3000m 时，回旋线参数 A 应取等于 ；当R 大于3000m 时，则取 A 小于 。
第五节  平面线形
 一、平曲线线形设计一般原则
（一）平面线形应直捷、连续、顺适，并与地形、地物相适应，与周围环境相协调
在地势平坦开阔的平原微丘区，路线直捷舒顺，在平面线形三要素中直线所占比例较大。而在地势有很大起伏的山岭和重丘区，路线则多弯曲，曲线所占比例则较大。可以设想，如果在没有任何障碍物的开阔地区（如戈壁、草原）故意设置一些不必要的弯道，或者在高低起伏的山地硬拉长直线都将给人以不协调的感觉。路线要与地形相适应，这既是美学问题，也是经济问题和保护生态环境的问题。直线、圆曲线、回旋线的选用与合理组合取决于地形地物等具体条件，片面强调路线要以直线为主或以曲线为主，或人为规定三者的比例都是错误的。
（二）行驶力学上的要求是基本的，视觉和心理上的要求对高速路应尽量满足
各级公路对于行驶力学要求必须保证，视觉和心理是的要求对于计算行车速度≥60km/h的公路应尽量满足。
高速公路、一级公路以及计算行车速度≥60km/h的公路，应注重立体线形设计，尽量做到线形连续、指标均衡、视觉良好、景观协调、安全舒适。计算行车速度愈高，线形设计所考虑的因素愈应周全。
计算行车速度<40km／h的公路，首先应在保证行车安全的前提下，正确地运用平面线形要素最小值，在条件允许不过多增加工程量的情况下力求做到各种线形要素的合理组合，并尽量避免和减轻不利的组合，以期充分发挥投资效益。
（三）保持平面线形的均衡与连贯（技术指标的均衡与连续性）
为使一条公路上的车辆尽量以均匀的速度行驶；应注意各线形要素保持连续性而不出现技术指标的突变，以下几点在设计时应十分注意：
1．长直线尽头不能接以小半径曲线。长的直线和长的大半径曲线会导致较高的车速，若突然出现小半径曲线，会因减速不及而造成事故，特别是在下坡方向的尽头更要注意。若由于地形所限小半径曲线难免时，中间应插入中等曲率的过渡性曲线，并使纵坡不要过大。
2．高、低标准之间要有过渡。同一等级的公路由于地形的变化在指标的平用上也会有变化。或同一条公路按不同计算行车速度的各设计路段之间也会形成技术标准的变化。遇有这种高、低标准变化的路段，除满足有关设计路段在长度和梯度上的要求外，还应结合地形的变化，使路线的平面线形指标逐渐过渡，避免出现突变。不同标准路段相互衔接的地点，应选在交通量发生变化处，或者驾驶者能够明显判断前方需要改变行车速度的地方。
（四）应避免连续急弯的线形
这种线形给驾驶者造成不便，给乘客的舒适也带来不良影响。设计时可在曲线间插入足够长的直线或回旋线。
（五）平曲线应有足够的长度
平曲线太短，汽车在曲线上行驶时间过短会使驾驶操纵来不及调整，且方向盘操作过于频繁，不利于安全行车。所以《规范》规定了平曲线（包括圆曲线及其两端的缓和曲线）最小长度。
事实上，汽车在公路的任何线形是行驶的时间均不宜短于3s，以使驾驶操作不显的过分紧张。
公路弯道在一般情况下是由两段缓和曲线（或超高、加宽缓和段）和一段圆曲线组成。这种组合的线形，即有利于驾驶操作，又线形顺畅、美观。缓和曲线（一般采用回旋线）的长度不能小于该级公路对其最小长度的规定。中间圆圆曲线的长度也宜大于3s的行程。当条件受限时，可将两条缓和曲线在曲率相当处直接连接，此时圆曲线的长度等于0。即
平曲线一般最小长度为9s行程；
平曲线极限最小长度为6s行程。
路线的转角大小发反映了路线的舒顺程度，小一些好。但转角过小，即使设置了较大的半径也容易把曲线长看成比实际的要短，造成急转弯的错觉。这种倾向转角越小越显着，以致造成驾驶者枉作减速转弯的操作。
一般认为，α≤7°应属小转角弯道。对于小转角弯道应设置较长的平曲线，其长度应大于表3-11中规定的“一般值”，但受地形及其它特殊情况限制时，可减短至表中的“低限值”。或按下式计算确定长度值。
偏角小于7°时的平曲线最小长度应满足下式：
式中：α——公路偏角，当α<2°时，按α=2°计算。
二、平面线形要素的组合类型
（一）基本型
按直线-回旋线-圆曲线-回旋线-直线的顺序组合，如图3-17。
适用场合：交点间距不受限。
基本型中的回旋线参数、圆曲线最小长度都应符合有关规定。两回旋线参数可以相等，也可以根据地形条件设计成不相等的非对称型曲线。从线形的协调性看，宜将回旋线、圆曲线、回旋线之长度比设计成1：1：1。
这时，Ls=αR/2。
由平曲线长度L=αR+Ls
按1：1：1设计时，L=3Ls，则3Ls=αR+Ls
（二）S型
两个反向圆曲线用两段回旋线连接的组合，如图3-18。
适用场合：交点间距受限（交点间距较小）。
适用条件：   
（1）S型相邻两个回旋线参数A1与A2宜相等。当采用不同的参数时，A1与A2之比应小于2.0，有条件时以小于1.5为宜。
（2）在S型曲线上，两个反向回旋线之间不设直线，是行驶力学上所希望的。不得已插入直线时，必须尽量地短，其短直线的长度或重合段的长度应符合下式：
          
式中：l——反向回旋线间短直线或重合段的长度（m）；
A1、A2——回旋线参数。
上列计算中间短直线长度的公式是根据超高折减推导出来的。如果中间直线超过上述长度很多，则认为是两个基本型的曲线而不是S型曲线了。
（3）S型两圆曲线半径之比不宜过大，宜为：
式中：R1——大圆半径（m）；
      R2——小圆半径（m）。
（三）卵型
 用一个回旋线连接两个同向圆曲线的组合，如图3-19。
 适用场合：交点间距受限（交点间距较小）。
 适用条件：
（1）卵型上的回旋线参数A不应小于该级公路关于回旋线最小参数的规定，同时宜在下列界限之内：
           
式中：A——回旋线参数；
     R2——小圆半径（m）。
    （2）两圆曲线半径之比宜在下列界限之内：
式中：R1——大圆半径（m）。
    （3）两圆曲线的间距，宜在下列界限之内：
式中：D——两圆曲线最小间距（m）。
（四）凸型
在两个同向回旋线间不插入圆曲线而径相衔接的组合，如图3-20。
凸型的回旋线的参数及其连接点的曲率半径，应分别符合容许最小回旋线参数和圆曲线一般最小半径的规定。
凸型曲线尽管在各衔接处的曲率是连续的，但因中间圆曲线的长度为0，对驾驶操纵亦造成一些不利因素，所以只有在路线严格受地形、地物限制处方可采用凸形。
（五）复合型
两个以上同向回旋线间在曲率相等处相互连接的形式，如图3-21。
复合型的两个回旋线参数之比宜为：
                        A2：A1=1：1.5
复台型回旋线除了受地形和其它特殊限制的地方外一般很少使用，多出现在互通式立体交叉的匝道线形设计中。
（六）C型
同向曲线的两回旋线在曲率为零处径相衔接的形式，如图3-22。其连接处的曲率为0，也就是R=¥，相当于两基本型的同向曲线中间直线长度为0，对行车和线形都带来一些不利影响，所以C型曲线只有在特殊地形条件下方可采用。
适用场合：交点间距受限（交点间距较小）。
适用条件：同卵形曲线。