e的指数和以e为底的对数的近似计算

欢迎转载只须注明作者---京西青龙

      近似计算公式无所谓好坏，不同的应用场合有不同的公式更使用。用e^x表示e的x次方、ln x表示x的以e为底的对数；用"/"表示除号、用"*"表示乘号；以下提到的误差都是指误差的绝对值。

      第一组近似公式:  e^x=(2+x)/(2-x) ---公式1  ln x=log(e,x)=(2x-2)/(x+1) ---公式2

用公式1计算时，x越接近0相对误差越小：

x的计算范围为[-0.1,+0.1]时，最大相对误差<0.01%，保留6位有效数字;

x的计算范围为[-0.2,+0.2]时，最大相对误差<0.1%，  保留5位有效数字;

x的计算范围为[-0.3,+0.3]时，最大相对误差<0.25%，保留5位有效数字;

x的计算范围为[-0.4,+0.4]时，最大相对误差<0.55%，保留5位有效数字;

x的计算范围为[-0.5,+0.5]时，最大相对误差<1.2%，  保留4位有效数字;

x的计算范围为[-0.6,+0.6]时，最大相对误差<2%，     保留4位有效数字;

x的计算范围为[-0.7,+0.7]时，最大相对误差<3.2% ， 保留4位有效数字;

计算过程中所要求的相对误差越小，中间结果和最终结果要保留的有效数字越多。公式2是由公式1推导而来，相对误差以后再讨论。这一组公式的特点是简单易记、计算量小、适用范围宽但绝对误差和相对误差大。

   第二组近似公式   e^x=(1968+1157x)/(1968-843x)  ---公式3    

ln x=log(e,x)=(1968x-1968)/(843x+1157) ---公式4

  用公式3计算的相对误差<0.1%（千分之一）,x的计算范围是[0,+ln2]( 中间结果和最终结果要保留6位有效数字，ln2=0.69315)。用公式4是由公式3推导而来，相对误差以后再讨论。这一组公式的特点是复杂难记、计算量大、适用范围较窄但相对误差很小。

       如果计算[-ln 2, 0)范围内的变量y的指数,令x=-y,则

e^y=1/(e^x)= (1968-843x)/ (1968+1157x)= (1968+843y)/ (1968-1157y)