尚同问到的这个题：

长为8宽为4的长方形里嵌一个半圆，如下图，求阴影的面积。

看到网上也有些贴子讨论。信息比较混杂，不足以回答尚同。
只能亲自整理本文来回答他了。

简析：
先做一推的辅助线，如下图：

一：小学生的做法：用尺子+量角器。
量得OG=2.4，GH=3.2，角HOE=37度。

阴影面积为：

   四边形OHDE - 扇形OHE   = 4*2.4/2+4*0.8/2-3.14*4*4*37/360  约为1.24

二：中学生做法：

利用勾股定理。设OG为x，则GH为（4+x)/2，二者平方和为16。
可得出OG=2.4，GH=3.2，另加一个知识点：勾三股四弦五对应的小锐角是36.87度。
可得面积为：4*(2.4+0.8)/2+4*4*PI*36.87/360 = 1.252

三：高中生的做法：
解法很多，
例如：36.87度可以通过查表法得到，摆脱勾三股四的强记；
也可以通过角GOH为角GBH的2倍。而角GBH的tan值为1/2，查表也可以算出。

四：没有量角器，没有计算器，也不能查表，也不记得勾三股四弦五对应的角度值，该怎么办？
傅立叶级数展开求值不大现实。
不过可以用小角度情况下sin与弧度相近，来估算这个角度。【注：10度以下，二者相差低于0.5%】

(PI/4-x) 这个角度不大，(PI/4-x)  约等于 sin(PI/4-x ) = 1.414/2/5 = 0.1414
所以x = PI/4-0.1414 = 0.644弧度 = 约36.89度。【如下图】

按37度做题。与小学生答案相同。