数学家的兔子（二）

—— 高观点下的斐波那契数列

矩阵与通项公式

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在上一篇文章《数学家的兔子》中，我们利用斐波那契数列的通项公式(1)：

以及初值条件

得到了如下斐波那契序列的一般表达式

这里

它们是方程

的两个根。

求数列通项是中学数学中的一个焦点。对类似于(1)这样非线性的递推公式，通过特征方程的根来做算得上“黑科技”。

但为什么这样可以？这个方程从哪里来？一个方法是通过线性方程组，用矩阵及其特征值和特征向量来解释。

第一步：线性化

类似于

（其中为常数）这样的线性递推数列的通项公式是比较好求的：

对非线性的（1），如果从高维的观点来看，也可以视为线性的——局部很复杂的对象，退一步宏观地看，可能就简单了。

回忆上一篇文章的表格中，有三列关于兔子的数：幼兔，成兔和总兔。因为最终关心总兔的数目，所以这个维度先取定，另任取一列，如取成兔的数目。

记为第月之初，兔的总数目（即），类似地，记为第月之初成兔的数目（即第月初的总兔数），而用向量

记总兔数和成兔数组成的向量。

显然，第一个月之初没有成兔，即

但第一个月之初有一对幼兔，所以总的兔数为

从而

第个月之初的总兔数来自第个月之初的的总兔数，以及第个月之初的（每对）成兔（一共对）所生的幼兔，所以

(这个方程实际就是斐波那契的递推公式(1).)

第个月之初的成兔来自于第个月之初的总的兔子数目：因为兔子不死且上个月初的幼兔也长成了，即

综合起来就有线性方程组

用矩阵表示，即有

其中

上面是为了补充此前没有详细解释的递推公式而花了些笔墨。实际上，如果熟悉，上述方程组相当于

而线性化的递推为

也就是说，我们可以不管实际背景，直接在形式上利用上述递推来构造2维向量。

言归正传，利用矩阵表示我们得到一个线性递推公式

从而轻松得到

其中

第二步：利用特征根和特征向量

如果矩阵有如下性质

则显然

也就是说，递推公式(3)就有希望算了。

满足这样的条件的被称为特征向量，对应的就是特征值。因为且要求

所以的行列式为0，即有特征方程

由此可得

它的两个根就是.对应于的（特征）向量可取为

注：若想偷懒，可以用wolframalpha.com 在线计算，计算公式为 eigenvectors {{1,1},{1,0}}）

可以用特征向量的线性组合表示初始向量如下：

因为

所以

所求的

我们再次得到斐波那契数列的通项公式。

注：这样一种从高维的观点看待一维问题的方法在其他学科中也存在。

如在概率论中，为计算两个随机变量的函数的分布，如的分布，常构造随机向量：

即线性变换

来先求得的分布，再用求边缘分布的方法求的分布，即得到的分布。

这或许是所谓的降维打击。

连分数与黄金分割的逼近

在上一篇文章中，我们利用斐波那契数列的通项公式证明了斐波那契数列的后一项与当前项之比逼近于黄金分割比。

可注意到，这是用一列有理数逼近一个无理数。

求无理数的有理近似的一个常用方法是利用连分数展开。所以我们这里考虑下的连分数表示。

若实数可以表示为

其中为整数，为正整数，，则记

称之为的连分数表示。显然，此时为有理数，它有有限的连分数表示。

如果

则为无理数，可简单记为

对黄金分割比，因为

可知

所以

从而可递推得到

也就是说

如果考虑用有限连分数来近似黄金分割比，可得近似值序列：

可见，这个序列恰好为斐波那契数列后一项与当前项之比所构成的序列。

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