2023癸卯兔年已经到来。

兔年吉祥

兔年谈谈数学家斐波那契的兔子，是很应景的。

所涉及的斐波那契序列，对于那些对数学稍有接触的人来说，都不陌生，如知道这个序列与黄金分割比、帕斯卡三角形等重要的数学概念密切相关。

虽然可能许多人对该序列很熟悉，但不一定对其中的数学计算有非常确切的了解。这里做一点介绍。

数学家的兔子（一）

介绍

列奥纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci，1175年－1250年）出生于意大利的比萨。

他早年随父经商，游历甚广，熟悉不同国家在商业上使用的算术体系。于是在回国后把在各地学到的数学知识进行比较和总结，写了一本书，书名为Liber abbaci。这本书的书名常被翻译为《算盘书》或《计算之书》或《算法之书》。这本书向欧洲介绍了阿拉伯数学。

斐波那契在这本书中提出了如下著名问题：

设一对刚出生的小兔一个月后就能长成大兔，再过一个月就能生下一对小兔，并且此后每个月都生一对小兔，一年内没有发生死亡，问：一对刚出生的兔子，一年内繁殖成多少对兔子?

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斐波那契原书中关于兔子的问题页\
斐波那契的著作的中译

容易列表计算各月月初的幼年兔子、成年兔子和总兔子数如下：

月份	幼兔	成兔	总兔
1	1	0	1
2	0	1	1
3	1	1	2
4	1	2	3
5	2	3	5
6	3	5	8
7	5	8	13
8	8	13	21
9	13	21	34
10	21	34	55
11	34	55	89
12	55	89	144
13	89	144	233

可见，一年之后，总兔子数为233.

一般公式

对任意的，记为第个月份开始时的兔子总数。设，则易见如下递推公式：

，

任意（）由上述公式以及初值

唯一确定。

我们称序列为斐波那契序列。

这个序列在数学以及自然界中广泛存在，如在帕斯卡三角形中自然出现：

如何求得的一般表达公式呢？

设是如下二次方程的两个解

可以验证，对任意常数，

是(1)的解。

事实上，

二次方程(2)的解为（不妨设）:

这两个数密切相关。显然（如由韦达定理）

还有

由

可得到

，

即

由可得

因此，

于是，我们可得斐波那契序列的一般表达式为

或更明显地表示为

利用显示表示公式，可以证明斐波那契序列的后项与当前项之比的极限为黄金分割比：

证明不难，只要注意到：

由此也可以知道比例

都是黄金分割比的近似值。这些近似值在实际应用中也常用到。

这也或许可以解释为何自然界中的螺线与斐波那契序列密切相关。