培养数学核心素养之“数学抽象”的教学研究

沈兴灿  西安市曲江第一中学

【摘  要】：根据自身多年的教学实践，总结出提高学生数学抽象能力的途径和比较有效的教学方法，并分析数学抽象与其它数学能力和核心素养之间相互促进的关系，为以后的数学教学工作提供参与。

【关键词】：核心素养;数学抽象;课堂教学

      中学数学核心素养是指学生能够用数学的眼光来观察世界，发现、分析和解决问题的内在素养,它由数学知识与技能、数学思想与方法、数学能力与观念等组成。2017版修订的《普通高中数学课程标准》明确提出了六大数学核心素养，即数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析.其中，数学抽象是数学核心素养的第一要素,是数学学习和数学思维能力发展的基础。

1．培养数学抽象的意义

数学抽象^【1】是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的思维过程。数学抽象主要包括：从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并用数学语言予以表征。数学抽象是数学的基本思想，是形成理性思维的重要基础，反映了数学的本质特征，贯穿在数学产生、发展、应用的过程中。数学抽象主要表现为：获得数学概念和规则，提出数学命题和模型，形成数学方法与思想，认识数学结构与体系。数学抽象能力的提高，能促使学生更好地理解数学概念、命题、方法和体系，有利于进一步去认识、理解、把握事物的数学本质。  学生抽象概括能力越高，在学习中的迁移能力就越强，对新的知识的理解和掌握也就越快，他们的逻辑思维水平才能真正提高。

2．课堂教学如何培养学生的数学抽象概括能力

2.1.概念教学要从实例出发，培养观察、发现与归纳能力

概念是思维的基本单位,具有高度的抽象性，是事物的本质属性在人脑中的反映，它是在抽象的基础上形成的思维形式。概念的形成过程就是对概念进行数学抽象、概括的过程。正确理解和掌握数学概念是形成抽象思维能力的基础。数学概念是培养学生抽象概括能力的极好材料。数学概念都来源于生活，在概念教学时，教师要重视联系实际，让数学概念的有充分的现实意义。教师应提供给学生丰富的、典型的、恰当的实例，引导学生用自己的头脑亲自对这些实例进行分析、综合、比较、抽象和概括等一系列的思维活动，去揭示概念的内涵及概念间的相互关系，鼓励学生去感受、发现、猜想、探索、概括事物的本质属性或规律，抓住它们的实质和共同特征，并尽可能让学生自己来归纳总结，提炼和完善概念。对于一个数学概念，教师要引导学生从多角度来思考问题，多方面探索解决问题的策略，让学生要先认识其特殊、具体的形式，从具体、感性的认识再逐步过渡到对概念的本质的认识，然后再运用新概念解决一些实际问题，达到巩固和应用。例如，关于线面垂直的定义，教学时，可以先让学生观察旗杆与地面的关系，直观感受什么是线面垂直，再让学生讨论并概括出线面垂直的定义。再例如，在函数概念教学时，老师首先列举一组“函数关系”例子，让学生观察它们的特点，找出共同特征，从而归纳出函数的概念。为了更进一步理解概念，再设计一组“非函数的对应关系”。通过这正反两方面具体实例的对照与辨析，学生能更好地理解函数的概念。

2.2 培养学生类比联想能力

　　通过类比和联想，寻找不同概念的相似性和共同性，可以加深对概念的理解. 它不仅可以激发学生的想象力和潜意识。类比联想还能点燃学生思维火花，充分调动学生的主观能动性，促进知识的迁移，达到活跃思维，丰富想象力,有益于培养学生的认知力和抽象能力。例如，在对弧度制下扇形面积公式S扇= (其中l是扇形的弧长，r是扇形的半径) 的教学，让学生通过观察,发现扇形和三角形很相似，因此启发学生把扇形视作曲边三角形，三角形的面积公式是S= 底×高，这里扇形的弧长l相当于三角形的底，扇形的半径r相当于三角形的高，把扇形面积公式与三角形面积公式进行类比，学生既容易理解，也更容易记住公式。

2.3.加强数学符号语言的训练

　教材中的数学概念、定理、公式、法则等往往是采用某种数学语言或符号表示.而学生要真正理解、掌握和运用它们，则必须能灵活运用数学符号语言。数学研究对象通过符号形式进行推理和运算，给数学理论的表述和论证带来极大的方便，它是数学发展和人们认识数学的重要方法；数学符号语言运用不熟练将严重阻碍数学抽象思维的发展。教学时，教师应重视将文字语言转换成数学符号语言、图形语言的训练。实践证明,如果学生能数学语言和符号复述概念、解释概念，他们对概念的理解就更深刻。例如，在高中必修1函数概念教学时，对于函数符号f(x)的理解非常关键，否则将影响整个章节的学习。这时，教师必须通过大量的例子和练习，来强化理解，并给学生充分的时间讨论，让学生真正理解符号f(x)，消除学习障碍。

2.4. 要鼓励学生大胆猜想，促进抽象思维的发展

在数学课堂教学及课后练习中，学生绝大部分时间和精力都是用于推理论证过程中。推理论证过程也是培养学生数学抽象思维的重要环节和途径。猜想是推理和论证过程中，发现问题，寻求解决问题方案的重要的思维方式。教师要让猜想成为数学课堂常态化的学习活动。课堂教学中有意识地让学生进行必要的猜想是培养学生抽象思维很好的途径。当一个数学问题生成时，就应该给学生足够的时间思考，并猜想其发生、发展的过程或结果。

2.5.鼓励学生提出问题，培养问题意识

思维是总是从疑问开始的。美国心理学家布鲁纳把教学过程看成“是一种提出问题和解决问题的持续不断的活动。”爱因斯坦曾经指出：“提出一个问题往往比解决一个问题更重要。”教学中，教师要积极鼓励学生大胆发问，善待学生提出的问题，善待提出问题的学生，设法保护学生发问的积极性。对有价值的问题可引导学生认真探究解决；对没价值的问题要采取妥善的方法予以处理，以保护、鼓励学生发问的积极性。教学中鼓励学生自己发现和提出问题有利于激发学生的求知欲和创新思维，还可以改变学生被动学习的状态，使学生意识到自己是学习的主人，充分发挥学生学习的主体作用。学生自己提出的问题，对别人也是一种启发，可以击撞出他人智慧的火花。课堂上，教师要有意识地设置疑团，为学生提问创造条件。问题意识的养成,不仅对数学抽象,而且对学生自身的数学素养的发展提升都有重要的意义.

2.6.加强数学运算能力的培养，促进数学抽象的发展。

运算能力是学生学习数学的基础，如果运算能力不过关，就会严重影响学生数学甚至其它理科学科的学习。 高中数学由于内容多,难度大,教学时间紧, 有的教师为了能按时完成教学任务, 课堂上只注重知识与方法的教学,弱化了计算能力的培养. 然而，如果学生的运算能力得不到应有提高，将会严重制约其对知识方法的理解和应用，影响抽象思维的发展。因此，教学过程中，教师要有意识地设计训练环节,让学生在“做“与“练”的过程中，夯实运算能力基本功。当学生的运算能力达到一定高度以后，对数学抽象以及数学素养的发展有很大的促进作用。

2.7.重视数学应用和数学建模的训练

数学建模就是把实际问题转换成数学问题，运用数学方法解决实际问题。数学建模能培养学生诸多方面的能力，中学生通过学习数学建模，能增强他们的数学应用意识，初步掌握数学建模的基本方法，培养运用数学知识去解决实际问题的能力,是提高数学素养的重要途径，可以为将来的学习和工作打下坚实的基础.在教学中老师应将数学建模中最基本的方法步骤教给学生，尤其要注重培养学生从杂乱无章的现象中抽象出恰当的数学问题的能力，即培养学生把客观事物的原型与抽象的数学模型联系起来的能力。首先要向学生介绍一些常用的、典型的数学模型，要强调建模过程，授之以渔，用典型实例构筑实际问题的数学模型，引导学生用数学思维的观点去观察、分析和表示各种事物关系、空间关系和数学信息，从纷繁复杂的具体问题中抽象出我们熟悉的数学模型，进而达到用数学模型来解决实际问题，提高他们运用数学知识进行建模的能力,进而抽象和概括能力也会大幅度的得到提高.
　3.培养数学抽象的教学建议

　数学教学必须以培养和发展学生的核心素养为指导思想，遵循学生思维发展的规律，加强学生的抽象思维能力的培养,提升学生的数学思维能力和综合素质。因此,教学过程应遵循如下原则. 
　　3.1.提倡思维型课堂教学,遵循教学双主体原则

课堂教学中，教师和学生的核心活动是思维。林崇德、胡卫平^[3]在《思维型课堂教学的理论与实践》一文中，提出了思维型课堂教学理论。思维型课堂教学理论以聚焦思维结构的智力理论为基础，着眼于课堂教学中的思维活动，以激发学生思维为核心,强调了在教学活动中“双主体”的师生关系的重要性，倡导师生的课堂互动。思维型课堂教学有利于培养学生的思维能力和数学抽象概括能力。作为教师，在课堂教学中要始终牢记：学生才是学习的主体，学生才是课堂的主体，教师只是课堂教学活动的组织者、引导者与合作者。课堂教学既强调教师的主导，又尊重学生学习的主体性，体现“双主体”原则，同时重视非智力因素对学习的影响，引导学生学会学习、学会思考，这对于改变学生依赖教师、被动学习的现象.因此，课堂教学过程的设计，也必须体现出学生的主体性，以学生发展为本，注重实效，才能提高课堂教学的有效性。

3.2.课堂要给学生留下充足的思考的时间和机会。

面对问题,无论是教师,还是学生,都需要思考.但是,思考数学问题需要一定的时间.不过,在高中数学课堂上,由于课时紧,内容多任务重,教师为了能按时完成既定教学任务,通常会压缩学生的思考时间,造成学生思考不充分、问题探究不够深入,严重影响学生的学习效果.因此,教师在课堂教学时,应适当精简内容，压缩讲解时间,给学生充分的课堂思考时间,将课堂“快思”,变为“慢想”,让学生的大脑得到锻炼,促进学生抽象思维的发展.

3.4.注重教学直观

数与图形之间的联系具有高度的抽象性，通过数与形的结合，可以将复杂的数据变得简单直观,是培养学生抽象思维重要的途径。立体几何、解析几何和函数等内容，有丰富的数型结合资源.在具体的教学中，充分利用图形的直观性教学，引导学生应以深入细致的观察，通过分析、综合、归纳、概括,让学生在数与形的相互转化的过程中发挥想象力，让学生经历这种抽象思维的过程，培养抽象思维能力。

　3.5.提倡探究式、发现式教学法 
　　在教学过程中,提倡学生以“发现问题，提出问题，分析与解决问题”作为主线的教学， 发现式教学更加突出学生的自主探索，主动地、自发地投入到学习,在解决问题中感悟与体验学习与探究过程,突出学生的主体地位.发现式教学不仅要精心准备好教学设计，还要在教学中进行正确引导，适时地用激励性的语言，激发学生探究动机，使学生品尝到探索成功的乐趣。

4．全面提升学生数学综合能力，更有利于数学抽象的发展

数字抽象的培养不能离开其他数学能力和素养而独立发展。数学抽象概括能力与其它数学能力和素养密切相关，它与记忆能力、观察能力、理解能力、联想能力、逻辑思维能力等相互渗透相互影响相互促进。当学生思维能力、综合分析问题与解决问题的能力整体得到较大提升以后，数学抽象自然会提升一个档次。课堂教学中，教师如果仅仅把精心用在一味灌输数学知识、题型、解题套路，而忽视思维能力与综合分析问题能力等数学能力的培养，在短期内可能比较有效，但却不利于学生的长远发展。所以，教学要以思维训练、能力培养为核心，综合提高学生的数学素养。课堂教学中，应把更多的时间和机会留给学生，让学生去分析、思考、感悟、总结，让他们的思维能力、分析问题解决问题的能力得到充分发展和锻炼。特级教师孙维刚指出，数学教学要“把不聪明的同学变得聪明，让聪明的同学变得更加聪明，提高学生的智力素质，而不是教具体的某一道题”，“要培养一个强大的头脑”^[2]，其本质就是强调要培养学生的思维能力、综合分析问题和解决问题能力,发展学生的核心素养。

【参考文献】

[1]中华人民共和国教育部制定《普通高中课程标准》数学（2017年版）

[2]林崇德，21世纪学生发展核心素养研究》【M】，北京师范大学出版社，2016年3月

[3]林崇德,胡卫平，思维型课堂教学的理论与实践[J];北京师范大学学报(社会科学版)，2010(1):29-36..

[4]互动百科，学习金字塔，http://www.baike.com/wiki/学习金字塔

[5]林华民, 做一流的教学能手[M], 北京: 朝华出版社, 2010年2月第1版