《鸽巢问题》教学设计

刘艳艳

【教学内容】

人教版《义务教育教科书·数学》六年级下册第68-69页例1、例2。

【教材分析】

     教材专门安排数学广角这一单元，向学生渗透一些重要的数学思想方法。本单元教材通过几个直观例子，借助实际操作，向这生介绍“鸽巢问题”，知道“鸽巢问题”就是以前老教材的“抽屉原理”。使学生在理解“鸽巢问题”这一数学方法的基础上，对一些简单的实际问题加以“模型化”，会用“鸽巢问题”加以解决。这节课安排了两个例题。例1教材借助把4枝铅笔放进3个笔筒中的操作情景，介绍了一类简单的“鸽巢问题”，即把m个物体放进n(m＞n，n是非0自然数)个空抽屉里，那么一定有一个抽屉里至少2个物体。数据较小，为学生自主探索提供了很大的空间，教学时，可以放手让学生自主思考，先采用不同的方法进行“证明”，然后再进行交流。例2介绍的是把a（a＞n）个物体放进n(非0的自然数)个空抽屉里，那么一定有一个抽屉中至少放进（商+1）个物体。

【学情分析】

    “鸽巢问题”就是老教材的“抽屉原理”。“抽屉原理”本身或许并不复杂，但它的应用广泛且灵活多变，因此，用“抽屉原理”来解决问题时，经常会遇到一些困难。例如，有时要找到实际问题与“抽屉问题”之间联系并不容易，即使找到了，也很难确定用什么作为“抽屉”，要用几个“抽屉”，要用几个抽屉。因此，教学时，不必过于追求学生“说理”的严密性，只要能结合具体问题把大致意思说出来就可以了，更要允许学生借助实物操作等直观方式进行猜测、验证。

【教学目标】

1、经历“抽屉原理”的探究过程，初步了解“抽屉原理”（鸽巢原理）的基本形式，并能运用“抽屉原理”解决相关实际问题或解释相关现象。

2、通过操作、观察、比较、说理等数学活动，使学生经历抽屉原理的形成过程，体会和掌握逻辑推理思想和模型思想，提高学习数学的兴趣。

3、通过“抽屉原理”的灵活应用感受数学的魅力。

【教学重点】

1、经历“抽屉原理”的探究过程，初步了解“抽屉原理”。

2、“不管怎么放”、“总有”、“至少”的具体含义，以及为什么商+1而不是加余数。

【教学难点】

1、理解“抽屉原理”，并对一些简单实际问题加以“模型化”。

2、判断谁是物体，谁是抽屉。

【突破方法】

在建立“抽屉原理”模型的过程中，对模型中的各个要素进行深入分析，从而学会将生活中的简单问题和“抽屉原理”的各个要素进行一一对应。

【教学准备】

    扑克牌、多媒体课件。

【教学过程】   

一、情景激趣导入。

师：今天上课前，我先给大家表演一个魔术，大家想看吗？这个魔术需要一名同学来配合，谁愿意？（向大家介绍）这是一副扑克牌，取出大王、小王，还剩多少张？请你任意从中抽取5张牌。我敢肯定地说：你手中的5张至少有两张是同一花色。同学们，你们相信吗？好，见证奇迹的时刻到了。（打开牌让大家看）

神奇吧！再给你们表演一个，这回请你任意抽出14张，我很确信的说，现在你手里的14张牌中至少有一对儿！

（理解“至少”的意思）

老师为什么能做出准确的判断呢？因为这个魔术中蕴含了一个数学原理，大家有兴趣研究吗？

【设计意图】第一次与学生接触，在课前进行的情景激趣、游戏激趣，一使教师和学生进行自然的沟通交流；二激发学生的兴趣，引起探究的愿望；三为今天的探究埋下伏笔。

二、通过操作，探究新知

（一）教学例1

师：同学们都带稿纸了吗？请用“︱”代表一枝铅笔，用“○”代表笔筒，现在我们就开始研究吧！

 

 

板书：   铅笔                笔筒                  

 4                   3         

师：将4枝铅笔放进3个笔筒里，可能会有怎样的结果？大家在稿纸上画画看。

（师巡视，了解情况，个别指导，然后指名上黑板展示，师引导学生共同将可能的几种结果订正并完善。）

【设计意图】此处设计从最简单的数据开始，将实际物件抽象为符号代替来进行操作探究，从而化繁为简，有利于学生操作、观察、理解，更能调动所有的学生积极参与进来。

师：请大家注意观察，黑板上同学们呈现的四种情况，它们都不一样是吧？(是)但它们却有一个共同的特点，谁来说说？

生1：——

生2：——

生3：它们总有一个笔筒里装有两根或两根以上的铅笔。

师： 你真了不起，一语道破了天机，请同学们重复一下他说的话！

生重复：不管怎么放，总有一个笔筒里至少有2枝铅笔。

师：“不管怎么放”是什么意思？

师：“总有”是什么意思？

生：一定存在。

师：“至少”有2枝什么意思？

生：不少于两只，可能是2枝，也可能是多于2枝。

师：你能在3个笔筒中的一个笔筒里摆放出比2枝更少的情况吗？（生：不能）

师：让我们再重复一遍我们发现的这个结论吧。

生：把4枝铅笔放进3个笔筒里，不管怎么放，总有一个笔筒里至少有2枝铅笔。

【设计意图】通过观察，使学生积极投入到对问题研究中。同时，加强学生对“不管怎么放”、“总有”、“至少”几个词的理解，并初步渗透建模的数学思想。

师：把4枝铅笔放进3个笔筒里，不管怎么放，总有一个笔筒里至少有2枝铅笔。这是我们通过实际操作进行枚举的方法发现了这个结论。(板书：枚举法)那么，我们能不能找到一种更为直接的方法，只摆一种情况，也能得到这个结论呢？

（学生思考——组内交流——汇报）

师：哪一组同学能把你们的想法汇报一下？

组1生：我们发现如果每个笔筒里放1枝铅笔，最多放3枝，剩下的1枝不管放进哪一个笔筒里，总有一个笔筒里至少有2枝铅笔。

师：你能结合操作给大家演示一遍吗？（学生操作演示）

师：你们组太聪明了！大家给他们点掌声！同位之间边演示边说一说好吗？

师：这种分法，实际就是先怎么分的？

生众：平均分

师：为什么要先平均分？（组织学生讨论）

生1：要想发现存在着“总有一个笔筒里一定至少有2枝”，先平均分,余下1枝，不管放在那个笔筒里，一定会出现“总有一个笔筒里一定至少有2枝”。

生2：这样分，只分一次就能确定总有一个笔筒至少有几枝笔了。

师：哦，这个方法真妙。你们听明白了吗？我也听明白了。就是先假设在每个笔筒里放一只铅笔，3个笔筒里就放了3只铅笔，还剩下1枝，放入任意一个笔筒，那么这个笔筒中就有2枝铅笔了。这种方法我们可以把它叫做“假设法”。（板书：假设法）那么，用“假设法”研究这类问题的核心是什么？（先平均分）

师：其他小组还有其它的方法吗？

（补充数的分解法并板书）

师：同学们真聪明！看来在探究解决问题时，通常都存在几种不同的方法策略。在我们刚才展示的三种方法中，你们认为最佳的方法是那一种？为什么？大家同桌之间互相讨论一下。

生1：我认为假设法最方便，因为假设法只需平均分一次就知道至少是多少。

师：我也这样认为。那么，让我们用这种最佳的方法来进行后面的研究，好不好？

【设计意图】数学课堂应为学生自主探索、合作交流提供足够的空间。在解决问题时，培养学生从多角度出发探索解决问题的不同策略和方法，从而简单地渗透“方法论”的哲学思想。

师：请同学们继续思考：把5枝笔饭放进4个盒子里，不管怎么放，总有一个盒子里至少有几枝铅笔？为什么？

生：（一边演示一边说）5枝铅笔放在4个盒子里，不管怎么放，总有一个盒子里至少有2枝铅笔。因为如果每个盒子里放1枝铅笔，最多放3枝，剩下的1枝不管放进哪一个盒子里，总有一个盒子里至少有2枝铅笔。

师：把6枝笔放进5个盒子里呢？

生：6枝铅笔放在5个盒子里，不管怎么放，总有一个盒子里至少有2枝铅笔。

师：把10枝笔放进9个盒子里呢？

把100枝笔放进99个盒子里呢？……（板书类推数字）

你发现什么？

生1：笔的枝数比盒子数多1，不管怎么放，总有一个盒子里至少有2枝铅笔。

师：你的发现和他一样吗？（一样）如果我们把“99个盒子”用“n个抽屉”来代替，把“100枝铅笔”用“n+1个物体”来代替，那么该怎样归纳这个发现呢？

生1：将n+1个物体放在n个抽屉里，不管怎么放，总有一个抽屉里至少有2个物体。

师：你们同意吗?(同意)

【课件】出示抽屉原理1。（生齐读）

【设计意图】在学生自主探索的基础上，教师进一步比较优化，让学生逐步学会运用一般性的数学方法来思考问题。在有趣的类推活动中，引导学生得出一般性的结论，让学生体验和理解“抽屉原理”的最基本原理，当物体个数大于抽屉个数时，一定有一个抽屉中放进了至少2个物体。这样的教学过程，从方法层面和知识层面上对学生进行了提升，有助于发展学生的类推能力，形成比较抽象的数学思维。）

师：你太了不起了！如果你早出生200年，数学史将因你而改写！那也没关系，今天你却是第一个吃到螃蟹的人，大家给他以热烈的掌声！

【课件】抽屉原理的来历

师：这个发现最早是由19世纪德国数学家“狄里克雷”发现的，人们为了纪念他从平凡的事情中发现规律，就把这个规律用他的名字命名，叫“狄里克雷原理”，又把它叫做“抽屉原理”，还把它叫做“鸽笼原理”。而我们今天正是利用抽屉原理来解决的这类问题，我们也把它叫做“鸽巢问题”（板书课题：鸽巢问题）在我们刚才的探究中，“4枝铅笔”就是“4个要分放的物体”，“3个笔筒”就是“3个抽屉”，这个问题用“鸽巢问题”的语言来描述就是：4只鸽子要飞进3个鸽笼，总有一个鸽笼至少要飞进2只鸽子。

【设计意图】介绍抽屉原理的由来，以增加数学文化的气息。同时教育学生学习数学家的观察生活的态度，研究问题的方法。

2．解决问题。

师；我们刚才用三种不同的方法研究出了抽屉原理1，知道了抽屉原理的来历。抽屉原理也叫“鸽笼原理”。瞧，鸽子来了。

【课件】5只鸽子飞回3个鸽笼，至少有2只鸽子要飞进同一个鸽笼里，为什么？

师：你们能用三种方法中的其中一种方法来说理吗？

（学生活动——独立思考， 自主探究，交流、说理）

师：谁能说说为什么？或者你是怎么想的？

生1：如果一个鸽笼里飞进一只鸽子，最多飞进3只鸽子，还剩2只，要飞进其中的一个鸽笼里或两个鸽笼。不管怎么飞，至少有2只鸽子要飞进同一个鸽笼里。

师：同意吗？（生：同意）老师把这位同学说的算式写下来，（板书：5÷3=1……2）

师：同位之间再说一说，对这种方法的理解。

【设计意图】通过“做一做”中的鸽巢问题，使学生可以利用例题中的方法进行迁移类推，对从余数1到余数2在思维层次上进一步提升。

（二）教学例2

过渡语：德国数学家“狄里克雷”在生活中，发现了抽屉原理1这个规律后，并没有停止对现象的研究，又发现了问题。我们也想一想，还有没有值得我们继续研究的问题呢？如果物件的数量更多一些会怎么样呢？

1．【课件】出示例2：把5本书放进2个抽屉里，不管怎么放，总有一个抽屉里至少有几本书？如果8本书会怎样呢？10本呢？

（留给学生思考的空间，师巡视了解各种情况）

2．学生汇报。

生1：把7本书放进3个抽屉里，如果每个抽屉里先放2本，还剩1本，这本书不管放到哪个抽屉里，总有一个抽屉里至少有3本书……

板书：

  先平均分         总有一个抽屉里至少数

7÷3=2……1              3（2+1=3）

    8÷3=2……2              3（2+1=3）

   10÷3=3……1              4（3+1=4）

【设计意图】在例1和“做一做”的基础上，相信学生会用平均分的方法解决“至少”的问题，将证明过程用有余数的除法算式表示，为下一步，学生发现结论与商和余数的关系做好铺垫。

师：观察板书你能发现什么？

生1：“总有一个抽屉里的至少有2本”只要用 “商+ 1”就可以得到。

师：如果把8本书放进3个抽屉里，不管怎么放，总有一个抽屉里至少有几本书？

生：“总有一个抽屉里的至少有4本”只要用8÷3=2本……2本，用“商+ 2”就可以了。

生：不同意！先把8本书平均分放到3个抽屉里，每个抽屉里先放2本，还剩2本，这2本书再平均分，不管分到哪两个抽屉里，总有一个抽屉里至少有3本书，不是3本书。

师：到底是“商+1”还是“商+余数”呢？谁的结论对呢？同位间进行研究、商量一下。

交流、说理活动：

生1：把8本书平均分放到3个抽屉里，每个抽屉里先放2本，余下的2本可以在2个抽屉里再各放1本，结论是“总有一个抽屉里至少有3本书”。

生2∶我们组的结论是8本书平均分放到3个抽屉里，“总有一个抽屉里至少有3本书”用“商加1”就可以了，不是“商加2”。

师：现在大家都明白了吧？那么怎样才能够确定总有一个抽屉里至少有几个物体呢？

生4：用书的本数除以抽屉数，再用所得的商加1，就会发现“总有一个抽屉里至少有商加1本书”了。

师：同学们同意吧？

【课件】展示板书：至少数＝平均数+1

师：同学们，在前面例一的研究中，同学们很了不起，发现并总结出了“抽屉原理1”。那么，通过刚才对例2的研究，你们能不能也总结出一句话呢？

师引导学生总结。

【课件】展示“抽屉原理2”

把a个物体放进n个空抽屉里，如果a÷n=b……c(c≠0),那么一定有一个抽屉至少放（b+1）个物体。

生齐读。

【设计意图】在这一环节的教学中通过抓住假设法最核心的思路就是用“有余数除法” 形式表示出来，使学生学生借助直观，很好的理解了如果把书尽量多地“平均分”给各个抽屉里，看每个抽屉里能分到多少本书，余下的书不管放到哪个抽屉里，总有一个抽屉里比平均分得的书的本数多1本。特别是对“某个抽屉至少有书的本数”是除法算式中的商加“1”， 而不是商加“余数”，教师适时挑出针对性问题进行交流、讨论，使学生从本质上理解 “抽屉原理”。

三、应用原理解决问题（说明“把谁当做物体，把谁当做抽屉”）

师：经过刚才的探索研究，我们经历了一个很不简单的思维过程，我们获得了解决这类问题的好办法，下面让我们用抽屉原理轻松地解决问题。

【课件】69页“做一做”。

（独立完成，交流反馈）

2、张叔叔参加飞镖比赛，投了5镖，成绩是41环。张叔叔至少有一镖不低于几环？

【设计意图】研究的问题来源于生活，还要还原到生活中去。课的前后需要一定的联系，通过让学生去用这节课学过的抽屉原理解释课始老师呈现的问题，再从生活中举出和抽屉原理有关的例子，让学生进一步认识数学与生活的联系 。

四、回顾总结，拓展延伸

这节课，我们通过一系列的研究，初步了解了“抽屉原理，并能结合生活实际进行理解。但是，它的应用确实千变万化的，用它可以解决许多有趣的问题。

现在你们能解释老师在课的开始说到5张牌至少有两张是同一花色和14张牌中至少有有一对的解释吗？（学生作解释。）请大家课后相互说一说。

五、课堂小结

通过这节课的学习，你有哪些收获？

【板书设计】

                   数学广角——鸽巢问题

 

   

 

 

物体数      抽屉数                总有一个抽屉至少数

      n+1        n                          2 （1+1=2）

      5    ÷    3=1……2                   2 （1+1=2）

先平均分                   商+1

7    ÷    3=2……1                   3  （2+1=3）

8    ÷    3=2……2                   3  （2+1=3）

          10   ÷    3=3……1                   4  （3+1=4）

           a   ÷    n=b……c                   b+1

【教学反思】

本节课的“鸽巢问题”就是老教材的“抽屉原理”，而“鸽巢问题”学生在生活中常常能遇到这样的实例，但并不能有意识地从数学的角度来理解和运用“抽屉原理”。教学中应有意识地让学生理解“抽屉原理”的一般化模型。数学课堂是师生互动的过程，学生是学习的主人，教师是组织者和引导者。本节课注重为学生提供自主探索的空间，引导学生通过探索，初步了解“抽屉原理”，会用“抽屉原理”解决问题。六年级的学生都有一定的逻辑能力，小组合作能力和动物操作能力，加上已有的生活经验，很容易感受到“抽屉原理”带来的乐趣。因此我在教学时借助实物或画草图的方式来指导学生学习。本节课的教学突出体现以下两个特点：一、魔术开课，激发兴趣。教师从学生熟悉的扑克牌魔术开始，让学生先猜，再打开牌看，使学生明确这是现实必然存在的，激发了学生的学习兴趣，为后面开展教与学的活动作了铺垫。二、注重“说理”活动，培养学生逻辑思维能力。在教学例2时，教师抓住了假设法最核心的思路就是用“有余数除法”形式表示出来，使学生借助直观，很好的理解了如果把书尽量多地“平均分”给各个抽屉里，看每个抽屉里能分到多少本书，余下的书不管放到哪个抽屉里，总有一个抽屉比平均分得的书的本数多1本。特别是对“某个抽屉至少有书的本数”是除法算式中的“商+1”，而不是“商+余数”，教师适时挑出针对性问题进行交流、讨论，使学生从本质上理解了“抽屉原理”。这节课也有需要改进的地方：数学语言不够精炼，且在整节课的时间把握上没分配好，略显前松后紧。