六年级奥数解析（三十五）钟表问题

 

《奥赛天天练》第35讲《钟表问题》。本讲主要探究两个方面的问题，钟表的快慢问题和钟面上时针和分针之间的夹角问题。

一、钟表的快慢问题。

在这类问题中，同一段标准时间内，标准时间和快表（或慢表）走过的时间之间的比值是一定的，这两个时间成正比例。解决此类问题的关键就是要抓住这个比例关系，列出相应的算式或比例方程，进而解决实际问题。

二、钟面上时针和分针之间的夹角问题。

（1）解答此类问题需要掌握的一些常识：

钟面上有12大格，60小格；

时针或分针转动一周的角度是360度；

钟面上1大格对应的圆心角是：360÷12＝30（度）；

钟面上1小格对应的圆心角是：360÷60＝6（度）；

时针每小时转动1大格，转动30度；

分针每分钟转动1小格，转动6度，是时针转动速度的12倍；

时针每分钟转动1大格的1/60，转动0.5度，转动1/12小格；

每1个小时，时针转动1大格，分针转动1圈，时针和分针会重合1次（从12时到1时这1个小时里，时针和分针在开始的时候重合。）。

（2）解题基本思路：

①求时针分针之间的夹角大小。

一般从某个确定的时刻开始，先计算出时针和分针各自转动的角度，再求出角度差，即时针和分针之间的夹角的大小。

②求时针分针成直角、直线、重合等需要经过的时间。

这类问题与行程问题中的追及问题相似，把时针和分针看作两个运动的物体，单位时间转动的角度就是它们的转动速度，用时针和分针到达预定位置需要转动的角度差，除以它们的速度差，就可以求出需要经过的时间。

《奥赛天天练》第35讲，模仿训练，练习1

【题目】：

小明家的挂钟每小时慢2分，早上8点小明把挂钟对准了标准时间，那么这只挂钟走到中午12点，标准时间是几点几分？

【解析】：

挂钟每小时慢2分，标准时间经过了1个小时，挂钟只走了（60－2＝）58分，标准时间与挂钟走过的时间之比为：60/58。

挂钟从早上8点走到中午12点，标准时间经过了：

（12－8）×60/58＝4又4/29（小时）

4/29小时×60＝8又8/29分

所求标准时间为12时8又8/29分。

《奥赛天天练》第35讲，模仿训练，练习2       

【题目】：

时针和分针在9点多少分第一次重合？

【解析】：

时针和分针在9点多少分第一次重合，即从9时整到10时整之间的一次重合。可以先根据生活经验推理估计一下重合的大致位置，肯定在钟面上数字9和10之间，即在9时45分和9时50分之间。

解法一：

9时整，时针指向9，分针指向12，从9时开始到时针与分针重合，分针要比时针多走9大格，分针需要追及的角度差为：

9×30＝270（度）

追及时间为：

270÷（6－0.5）＝49又1/11（分）

所以时针和分针在9时49又1/11分会第一次重合。

解法二：

9时整，时针指向9，分针指向12，从9时开始到时针与分针重合，分针要比时针多走9大格，分针需要追及的小格数为：

9×5＝45（小格）

追及时间为：

45÷（1－1/12）＝49又1/11（分）

所以时针和分针在9时49又1/11分会第一次重合。

《奥赛天天练》第35讲，巩固训练，习题1

【题目】：

3点过多少分时，时针与分针离“3”的距离相等，并且在“3”的两边？

【解析】：

3点多时针在钟面上数字3的顺时针方向，由题意可得，分针的预定位置在钟面上数字3的逆时针方向。

时针与分针离“3”的距离相等，可以从角度的大小理解，也可以从小格数的多少来理解。

解法一：根据等量关系“分针和时针到钟面上3的距离相等”，列方程求解。

从角度的大小来入手，假设3点过x分时，时针和分针转动预定位置，分针到钟面上数字3的距离就是3大格对应的圆心角与分针x分钟转动的角度之差，时针与钟面上数字3的距离就是时针x分钟转动的角度，由题意可得：

3×30－6x＝0.5x

解得：x＝13又11/13

即3点过13又11/13分时，时针与分针离“3”的距离相等，并且在“3”的两边。

解法二：假设3点过x分时，时针和分针转动预定位置。则从3点钟开始，到时针和分针转动到预定位置，时针和分针转动的角度之和，正好等于钟面上3大格对应的圆心角。

用时针和分针转动的角度之和除以它们转动的速度和，可以求出经过时间：

3×30÷（6＋0.5）＝13又11/13（分）

即3点过13又11/13分时，时针与分针离“3”的距离相等，并且在“3”的两边。

注：把距离理解为钟面上小格数的多少，与上面的两种解法同理，同样可以求解。

《奥赛天天练》第35讲，巩固训练，习题2

【题目】：                                        

一只钟的时针和分针均指在4和6之间，且钟面上的5恰好在时针和分针的正中央，问这时是什么时刻？

【解析】：

本题分两种情况讨论：

第一种情况是5时多，时针在5的顺时针方向，分针在5的逆时针方向。

与本讲【巩固训练，习题1】解题方法相同，可求出从5时起，到时针分针转到预定位置经过的时间为：

5×30÷（6＋0.5）＝23又1/13（分）

第二种情况是4时多，时针在5的逆时针方向，分针在5的顺时针方向。

从4时起，到时针分针转动到预定位置，时针转动的距离比1大格少的部分，正好等于分针转动的距离比5大格多出的部分，即时针和分针转动的距离之和正好等于6大格。

把距离理解为小格数的多少，可求出从4时起，到时针分针转到预定位置经过的时间为：

（5＋1）×5÷（1＋1/12）＝27又9/13（分）

（注：本题利用下面的等量关系同样可以列方程求解。

时针转动的距离比1大格少的部分＝分针转动的距离比5大格多出的部分）

综上所述，所求时刻可能是4时27又9/13分，也可能是5时23又1/13分。

《奥赛天天练》第35讲，拓展提高，习题1

【题目】：

星期日小明去同学家玩了两个多小时，离家时他看了看钟，回家时又看了看钟，发现时针和分针恰好互换了一个位置，问小明离开家多少时间？

【解析】：

时针按顺时针方向转动了2个多小时，分针转动了2圈多。时针和分针恰好互换了一个位置，即分针转动的总距离比3圈少一些，不足部分正好等于时针转动距离，因为时针正好从分针的终点位置转到了分针的起点位置

综上所述，时针和分针转动的距离之和正好等于3圈。用小格数的多少表示转动的距离，用时针和分针转动的距离之和除以它们的速度之和，可以求出经过时间为：

3×60÷（1＋1/12）＝166又2/13（分）

166又2/13分＝2时46又2/13分

即小明离开家的时间为2时46又2/13分。

《奥赛天天练》第35讲，拓展提高，习题2

【题目】：

在4点与5点之间，时针与分针什么时候成直角？

【解析】：

在4点与5点之间，是4时多。

本题分两种情况讨论：

第一种情况，分针在时针的逆时针方向，距离时针90度。

4时整，时针与分针的距离为：4×30＝120（度）

从4时开始到时针与分针成直角，即距离为90度，分针需要追及（120－90＝）30度。

用时针分针转动的距离差除以它们的速度差，可以求出经过时间为：

30÷（6－0.5）＝5又5/11（分）

第二种情况，从4时开始到时针与分针成直角，分针从数字12开始先追及时针与时针重合，再超过时针距离90度。

从4时整，时针与分针的距离为4大格，到分针与时针重合，分针要比时针多转动4大格，加上继续超过时针90度，分针一共要比时针多转动：

4×30＋90＝210（度）

用时针分针转动的距离差除以它们的速度差，可以求出经过时间为：

210÷（6－0.5）＝38又2/11（分）

即在4点与5点之间， 4时5又5/11分和4时38又2/11分时针与分针都成直角。