六年级奥数解析（三十四）比例法求面积

 

《奥赛天天练》第34讲《比例法求面积》。

某些求平面图形面积的几何问题，已知条件与所求面积之间的关系比较隐蔽，无法用常规思路进行解答。本讲将学习运用平面图形中对应线段长度和面积之间的正反比例关系，列出算式或比例方程，求出对应线段的比值、长度，进而巧妙解答此类图形面积问题。

解题中常用的比例关系：

1、三角形的面积公式：三角形面积＝底×高÷2。

根据面积公式可得：

①三角形面积一定时，三角形的底和高成反比例；

②三角形的底一定时，三角形的面积和高成正比例；

③三角形的高一定时，三角形的面积和底成正比例。

2、平行四边形的面积公式：平行四边形面积＝底×高。

根据面积公式可得：

①平行四边形面积一定时，平行四边形的底和高成反比例；

②平行四边形的底一定时，平行四边形的面积和高成正比例；

③平行四边形的高一定时，平行四边形的面积和底成正比例。

3、长方形的面积公式：长方形面积＝长×宽。

根据面积公式可得：

①长方形面积一定时，长方形的长和宽成反比例；

②长方形的长一定时，长方形的面积和宽成正比例；

③长方形的宽一定时，长方形的面积和长成正比例。

《奥赛天天练》第34讲，模仿训练，练习1

【题目】：

如图，ABCD是一个梯形，E是AD的中点，线段CE把梯形分成甲、乙两部分，题目的面积之比是10 ：7，求上底AB与下底CD长度之比。

http://s14/mw690/006UP92yzy7fBaIq3GRdd&690

【解析】：

如上图，连接AC（红色线段是添加的辅助线）。

三角形EDC与三角形EAB等底等高，面积相等。

把三角形EDC的面积看作7份，根据题意，则三角形EAB的面积也是7份，四边形ABCE的面积为10份。

可以求出三角形ABC与三角形ADC的面积之比为：

（10－7）：（7×2）＝3 ：14

又因为梯形ABCD中，三角形ABC与三角形ADC的高相等，所以对应的三角形的底边长度与三角形的面积成正比例，即梯形上底AB与下底CD长度之比就等于这两个三角形的面积之比为：3 ：14。

《奥赛天天练》第34讲，模仿训练，练习2       

【题目】：

如图，平行四边形ABCD的周长为75厘米，以BC为底时，高是14厘米；以CD为底时，高是16厘米，那么平行四边形ABCD的面积是多少平方厘米？

http://s5/mw690/006UP92yzy7fBaPc2MY34&690

【解析】：

平行四边形面积一定时，平行四边形的底和高成反比例。

平行四边形ABCD中，两条高的比是：

14 ：16＝7 ：8

则对应的两条底边BC和CD的长度之比为：8 ：7。

这两条底边的长度之和为平行四边形周长的一半，按比例分配，可以求出底边BC的长度为：

75÷2×8/(7＋8)＝20(厘米)

所求平行四边形的面积为：

20×14＝280（平方厘米）

《奥赛天天练》第34讲，巩固训练，习题1

【题目】：

如图，一个矩形被分成8个小矩形，其中五个小矩形的面积如图所示，那么其中最大的矩形的面积是多少？

http://s5/mw690/006UP92yzy7fBaXoo7284&690

【解析】：

矩形的一条边长度不变，另一条边的长度与矩形的面积成正比例。

解法一：纵向比。

如上图，8个矩形分成4列，每一列两个矩形都有一条公共边，则上下两个矩形的面积比都等于原大矩形的宽被分成的两条线段的长度之比。

它们的比值都等于：  20 ：16＝5/4。

则图中从左到右三个未知的矩形面积依次是：

36×5/4＝45；  30÷5/4＝24；  12×5/4＝15。

其中最大的矩形的面积是45。

解法二：横向比。

上图中8个矩形分成2行，每一行相邻的两个矩形都有一条公共边，与解法一同理，可以推出对应的四个矩形的面积成比例。

假设从左到右三个未知的矩形面积依次是x、y、z，可得：

x ：20＝36 ：16   解得x＝45；

20 ：30＝16 ：y   解得y＝24；

30 ：z＝24 ：12   解得z＝15。

其中最大的矩形的面积是45。

《奥赛天天练》第34讲，巩固训练，习题2

【题目】：                                        

http://s15/mw690/006UP92yzy7fBb5ySfQ4e&690

如图，ABCD是直角梯形，其上底＝3，下底＝9，线段DE，EF把梯形分成面积相等的三块，即S₁＝S₂＝S₃，已知CF＝2,那么这个直角梯形ABCD的面积是多少？

 

 

【解析】：

已知这个直角梯形的上下底，只要求出与这个梯形与上下底垂直的腰CB的长度，即梯形的高，就可以求出这个梯形的面积。又因为已知CF＝2，只要求出CF与CB的比，就可以求出CB的长度。

如上图，连接CE（红色虚线为添加的辅助线），三角形DCE、三角形DAB、三角形CEB三个三角形等高，它们的面积比就等于它们的底的比，它们的面积和等于梯形总面积，所以三角形DCE的面积占梯形总面积的：

3÷（3＋9）＝1/4

又因为S₁＝S₂＝S₃，则S₁和S₃的面积都是梯形总面积的三分之一，所以三角形CEF与三角形CEB的面积比为：

（1/3 －1/4）÷(1/3 －1/4 ＋1/3 )＝1/5

三角形CEF与三角形CEB等高，它们的底边CF与CB之比就等于它们的面积之比，等于1/5。可以求出CB的长度为：

2÷1/5＝10

所求直角梯形的面积为：（3＋9）×10÷2＝60。

《奥赛天天练》第34讲，拓展提高，习题1

【题目】：

如图，BF ：AB＝1 ：6，AE ：AC＝1 ：5，CD ：CB＝1 ：4，若△ABC的面积为120平方厘米，求三角形DEF的面积。

http://s13/mw690/006UP92yzy7fBbaVmgI9c&690

【解析】：

用三角形ABC的面积依次减去三角形AEF、三角形BFD、三角形CDE的面积，剩下的就是三角形DEF的面积。

如上图，连接AD（红色虚线为添加的辅助线）,三角形EDC与三角形ADC等高，它们的面积比就等于它们的底边之比：（5－1） ：5＝4/5。

三角形ADC与三角形ABC等高，它们的面积比就等于它们的底边之比：1/4。

所以三角形EDC的面积就是三角形ABC的1/4的4/5：

120×1/4×4/5＝24（平方厘米）

同理可以求出三角形BFD、三角形AEF的面积依次是：

120×1/6×（4－1）/4＝15（平方厘米）

120×1/5×（6－1）/6＝20（平方厘米）

所求三角形DEF的面积为：

120－24－15－20＝61（平方厘米）

《奥赛天天练》第34讲，拓展提高，习题2

【题目】：

http://s15/mw690/006UP92yzy7fBbp5vSm6e&690

在如图所示的长方形ABCD中，△ABD的面积比△BCD的面积大10平方厘米，求阴影部分面积。

 

  

 

【解析】：

阴影部分是个3/4圆，只要求出圆的半径即长方形的宽，进而求出圆的面积，就可以求出阴影部分的面积。

△ABD和△BCD都是以长方形的宽CB为高的三角形，它们的面积比就等于它们的底边的长度之比是8/3，又因为它们的面积之差为10平方厘米，可以求出三角形ABD的面积为：

10×8/(8－3)＝16(平方厘米)

则三角形ABD的高，即圆的半径为：

16×2÷8＝4（厘米）

所求阴影部分面积为：

3.14×4²×3/4＝37.68（平方厘米）