五年级奥数解析（四十七）最简分数

《奥赛天天练》第四十七讲《最简分数》。

分子和分母只含有公因数1的分数，或者说分子和分母是互质数的分数，叫做最简分数，又称既约分数。既约分数可以理解为已经约分过的分数,也就是分子和分母是互质数的分数。

最简分数的概念与真分数、假分数是概念的交叉的，容易混淆。假分数虽然是大于1或等于1的分数，但如果符合以上定义也是最简分数，如：9/8。真分数虽然小于1，但如果分子分母不是互质数，仍然不是最简分数，如：3/6。

本讲学习求最简分数的个数，可以用分类列举的方法求解。解题时注意确定好分类的标准和列举的顺序，要做到既不重复又不遗漏。

《奥赛天天练》第47讲，模仿训练，练习1

【题目】：

分母是221的真分数有多少个？最简真分数有多少个？

【解析】：

一、分母是221的真分数，分子是小于221的自然数：1～220，满足条件的分数有220个；

二、在分母是221的所有220个真分数中，分子如果是分母221的约数或包含221的约数，即与221不互质，这样的分数就不是最简分数。

221=13×17

则1～220中，13的倍数有（17-1=）16个，17的倍数有（13-1=）12个。

所以符合条件的最简真分数有：

220-16-12=192（个）。

《奥赛天天练》第47讲，模仿训练，练习2

【题目】：

分母不大于50，分子不大于5的最简真分数有多少个？

【解析】：

分子不大于5，只能是：1、2、3、4、5；

分母不大于50，且是真分数，分母只能是2～50的数。

根据分子的情况，分类列举如下：

①分子是1，分母在2～50中的真分数都是最简真分数，有：

50-1=49（个）；

②分子是2，分母只能为3～50中的奇数，这样的最简真分数有：

50÷2-1=24（个）；

③分子是3，分母为4～50，这样的最简真分数可以求出：

4～50中，3的倍数有15个，50-3-15=32（个）；

④分子是4，分母只能为5～50中的奇数，这样的最简真分数有：

50÷2-2=23（个）；

⑤分子是5，分母为6～50，这样的最简真分数有：

6～50中，5的倍数有9个，50-5-9=36（个）。

所以符合条件的最简真分数共有：

49+24+32+23+36=164（个）。

《奥赛天天练》第47讲，巩固训练，习题1

【题目】：

比分数1/4大，比7/10小，分母是40的最简分数有多少个？

【解析】：

先把分数1/4和7/10都化为分母为40的分数：

1/4＝10/40；     7/10＝28/40

10到28之间的数比较少，可以直接列举出在10到28之间与40互质的数（不含有质因数2和5的数），有7个：11、13、、17、19、21、23、27。

所以，符合题目条件的最简分数有7个。

《奥赛天天练》第47讲，巩固训练，习题2

【题目】：

求所有分母是85的最简真分数的和。

【解析】：

分母为85的真分数，分子为：1～84。

85＝5×17，所求最简真分数的和，就是分母为85，分子既不是5的倍数又不是17的倍数的所有真分数的和。又因为：

①1～84中，5的倍数有（17-1=）16个，等差数列排列，总和为：

5+10+15+…+80＝（5+80）×16÷2＝85×8，

分母为85，分子是5的倍数的真分数之和为：85×8÷85＝8；

②1～84中，17的倍数有（5-1=）4个，等差数列排列，总和为：

17+34+51+68＝85×2。

分母为85，分子是17的倍数的真分数之和为：85×2÷85＝2；

③分母是85的所有真分数的分子之和为：

1+2+3+…+83+84＝（1+84）×84÷2＝85×42，

分母为85的所有真分数之和为：85×42÷85＝42。

所以，符合条件的最简真分数的和为：42－8－2＝32。

《奥赛天天练》第47讲，拓展提高，习题1

【题目】：

分子、分母的乘积是420的最简真分数共有多少个？

【解析】：

解法一：先按顺序对420成对分解因数。

420＝1×420＝2×210＝3×140＝4×105＝5×84＝6×70＝7×60

＝10×42＝12×35＝15×28＝20×21

找出每组互质的因数，可得符合条件的最简真分数共有8个：

1/420，3/140，4/105，5/84，7/60，12/35，15/28，20/21。

解法二：先对420分解质因数。

420＝2×2×3×5×7

根据分解情况，找出每组积为420且互质的两个因数，可得符合条件的最简真分数共有8个：

1/420，3/140，4/105，5/84，7/60，12/35，15/28，20/21。

《奥赛天天练》第47讲，拓展提高，习题2

【题目】：

一个最简真分数的分子、分母是两个连续自然数，如果分母加上4，这个分数约分后是2/3，原来这个分数是多少？

【解析】：

假设分数分子为2x，则新分数分母为3x，由题意可得：

3x＝2x＋1＋4

解得：x＝5

2x＝2×5＝10； 2x＋1＝10＋1＝11

所以，原来这个分数是10/11。