五年级奥数解析（三十二）数的整除（一）

《奥赛天天练》第三十二讲、第三十三讲《数的整除特征》，整除问题是整数内容最基本的问题。理解掌握整除的概念、性质及某些特殊数的整除特征，可以简单快捷地解决许多整除问题，增强孩子的数感。

整除的概念：

如果整数a除以非0整数b，除得的商正好是整数而且余数是零，我们就说a能被b整除（或b能整除a），记作b/a，读作“b整除a”或“a能被b整除”。a叫做b的倍数，b叫做a的约数（或因数）。

整除的五条基本性质：

（1）如果a与b都能被c整除，则a+b与a-b也能被c整除；

（2）如果a能被b整除，c是任意整数，则积ac也能被b整除；

（3）如果a能被b整除，b能被c整除，则积a也能被c整除；

（4）如果a能同时被b、c整除，且b与c互质，那么a一定能被积bc整除，反之也成立；

（5）任意整数都能被1整除，即1是任意整数的约数；0能被任意非0整数整除，即0是任意非0整数的倍数。

一些特殊数的整除特征：

（1）若一个整数的个位数字是2的倍数（0、2、4、6或8）或5的倍数（0、5），则这个数能被2或5整除；

（2）若一个整数的十位和个位数字组成的两位数是4或25的倍数，则这个数能被4或25整除；

（3）若一个整数的百位、十位和个位数字组成的三位数是8或125的倍数，则这个数能被8或125整除；

（4）若一个整数各位上数字和能被3或9整除，则这个数能被3或9整除；

（5）若一个整数的末三位数字表示的三位数与百位以前的数字所表示的数之间的差是7、11或13的倍数，则这个数能被7、11或13整除。如果差太大，可以继续上述过程，直到能直接判断为止。

如果能深入理解上述数的整除特征，知道这些规律的形成原因，不仅能举一反三记住更多数的整除特征，不容易产生混淆，还可以增进对整数的进一步认识和掌握。数的整除特征都能够运用整除的性质给予证明，相关证明过程及更多整数的整除特征，请查阅：

【数学常识】整除的性质和特征

《奥赛天天练》第32讲，模仿训练，练习1

【题目】：

在□内填上合适的数，使五位数7□36□能被5整除，也能被9整除。

【解析】：

要使这个数能被5整除，个位数字只能是0或5，要使这个数能被9整除，各位上数字的和必须是9的倍数。

先根据被5整除的数的特征，确定这个数的个位数字，再根据被9整除的数的特征确定千位上数字，符合条件的五位数有：72360、76365。

《奥赛天天练》第32讲，模仿训练，练习2

【题目】：

希望小学期末考试五（1）班数学平均分是90分，总分是□95□分，这个班共有多少名学生？

【解析】：

五（1）班学生人数一定是整数，所以总分□95□一定是平均分90的倍数。90﹦9×10，且9和10互质，这个数必须同时能被9和10整除。能被10整除的数，个位数字必须是0，能被9整除的数，各位上数字的和必须是9的倍数。

先确定这个数的个位数字为0，再根据被9整除的数的特征确定千位上数字，符合条件的五位数为4950。

所以这个班共有学生：4950÷90=55（名）。

《奥赛天天练》第32讲，巩固训练，习题1

【题目】：

老师买了72本相同的笔记本，回校后发现记录单上有两个数字看不清了，总钱数是□13.7□元（□为看不清的数字），他又记不清每本笔记本的价格，你能帮老师补上这两个数字吗？

【解析】：

先把小数转化为整数：□13.7□元﹦□137□分。

根据题意，□137□能被72整除，72﹦9×8，且9和8互质，所以这个数必须同时能被9和8整除。能被8整除的数末三位数必须能被8整除，这个数的个位数字只能填6；个位数字为6时，万位上数字必须是1，各位上数字的和才能被9整除，这个数才能同时被9整除。所以补上两个看不清的数字后，总钱数为113.76元。

《奥赛天天练》第32讲，巩固训练，习题2

【题目】：

在358后面补上3个数字组成一个六位数，使这个六位数能同时被3，4，5整除，这样的六位数中最小的是多少？

【解析】：

先确定个位数字：这个六位数能同时被4和5整除，个位数字必须是0；

再确定百位数字：要使这个六位数最小，补上的3个数字，最高位上数字取最小数字0；

最后确定十位数字：要使这个六位数能被3整除，即各位上数字的和必须是3的倍数，根据已确定的五个数字，十位上数字最小是2。

所以这样的六位数最小是358020。

《奥赛天天练》第32讲，拓展提高，习题1

【题目】：

某校有6个兴趣小组，人数如下表：

一天下午有5个小组去听语文和数学讲座，其中听语文讲座的人数是听数学讲座人数的2倍，剩下的一个小组（超过10人）外出活动，这是第几组？

【解析】：

听语文讲座的人数是听数学讲座人数的2倍，则听讲座的总人数是听数学小组人数的3倍，即听讲座总人数必然是3的倍数。

（8+27+9+16+19+23）÷3=34

六个组总人数是3的倍数，去掉其中听讲座的五个组的人数也是3的倍数，则剩下外出活动的一个小组的人数必定也是3的倍数。在超过10人的4个小组，第2小组、第4小组、第5小组和第6小组中，只有第2小组人数符合要求，因此外出活动的是第2小组。

《奥赛天天练》第32讲，拓展提高，习题2

【题目】：

在1～100这100个自然数中既不能被2，又不能被3整除，也不能被5整除的数有多少个？

【解析】：

在1～100这100个自然数中，能被2整除的数有：100÷2﹦50（个）

能被3整除的数有：100÷3﹦33（个）……1

能被5整除的数有：100÷5﹦20（个）

同时能被2、3整除的数有：100÷（2×3）﹦16（个）……4

同时能被2、5整除的数有：100÷（2×5）﹦10（个）

同时能被3、5整除的数有：100÷（3×5）﹦6（个）……10

同时能被2、3、5整除的数有：100÷（2×3×5）﹦3（个）……10

根据容斥原理，这100个自然数中，能被2、3或5整除的数共有：

50＋33＋20－16－10－6＋3﹦74（个）

所以，这100个自然数中既不能被2整除，又不能被3整除，也不能被5整除的数有：100－74﹦26（个）。