五年级奥数解析（三十）长方体和正方体（上）

《奥赛天天练》第三十讲、第三十一讲《长方体和正方体》。

本讲内容是在学生认识了长方体、正方体的面、棱、顶点等结构与特征，理解并熟练掌握了长方体、正方体的表面积、体积和容积的意义及计算方法，能进行几何体与其展开图之间的转化，并能灵活运用这些知识解决实际问题的基础上，进一步探索比较复杂的此类问题的解题方法。是教材内容的拓展和延伸，加大了空间想象的力度，以发展孩子的空间观念为主要目的。

教学时要画出立体图形，要注重观察、想象并联系生活实际，尽力从数学的角度解释实际问题，引导学生综合应用数学知识、技能解决问题，使孩子能看到数学与生活的有机结合。　

学生在一年级就直观认识了长方体和正方体，并在数学学习中曾多次把长方体、正方体木块作为学具，对它们的形状特征有了初步的、整体的感受。但系统、深入地学习长方体和正方体的知识，人教版教材安排在五年级下册，苏教版教材安排在六年级上册，如果是学习苏教版教材的学生，最好等到六年级再学习本讲内容。

《奥赛天天练》第30讲，模仿训练，练习1

【题目】：

一个长方体和一个正方体的棱长之和相等。已知长方体的长是6分米，宽是4分米，高是2分米，求正方体的表面积和体积？

【解析】：

要求出正方体的表面积和体积，必须先求出正方体的棱长。

长方体有12条棱分为3组：4条长、4条宽、4条高；正方体有12条棱，每条棱的长度都相等。

设这个正方体的棱长为x分米，根据题意，可以列出方程：

12x=（6＋4＋2）×4

解得：x﹦4

正方体的棱长为4分米。

所以正方体的表面积为：4²×6﹦96（平方分米）。

正方体的体积为：4³﹦64（立方分米）。

《奥赛天天练》第30讲，模仿训练，练习2

【题目】：

一块长方形铁片（厚度不计），四个角剪去边长为2.8分米的正方形，焊成一个长方体铁皮盒，可以盛水546升。已知这块长方形铁皮的长是21.2分米，求长方形铁皮的面积。

【解析】：

546升﹦546立方分米，即焊成的铁皮盒的容积为546立方分米。厚度不计，铁皮盒的容积也就相当于它的体积。

http://s2/mw690/006UP92yzy7fopcawnv01&690 

如上图，铁皮盒的体积为546立方分米，铁片盒的高为2.8分米，铁皮盒底面的长为：21.2－2.8×2﹦15.6（分米）。

所以，铁皮盒底面的宽为：546÷2.8÷15.6﹦12.5（分米）。

则铁皮原来的宽为：12.5＋2.8×2﹦18.1（分米）。

由长方形铁皮原来的长、宽，可以求出它的面积为：

21.2×18.1﹦383.72（平方分米）。

《奥赛天天练》第30讲，巩固训练，习题1

【题目】：

一个长方体，如果从它的高度方向锯掉3厘米的一段，正好得到一个正方体，但表面积减少了72平方厘米，原来长方体的体积是多少？

【解析】：

如下图：

 http://s7/mw690/006UP92yzy7fopjxJdA86&690

从长方体高度方向锯掉3厘米的一段，表面积减少部分就是高3厘米的长方体的四个侧面和一个上面，同时表面积又增加了一个切面，切面面积正好与原长方体上面的面积相等，互相抵消。因此，剩下正方体表面积比原长方体表面积减少的72平方厘米，就是高3厘米的长方体的侧面积。

所以长方体的底面周长为：72÷3﹦24（厘米）。

剩下部分是个正方体，即长方体底面是正方形，所以长方体的底面边长即所得正方体的棱长为：24÷4﹦6（厘米）。

所以原长方体的体积为：

6×6×（6＋3）﹦324（立方厘米）。

《奥赛天天练》第30讲，巩固训练，习题2

【题目】：

如图，一个正方体切去一个长方体后，剩下图形的体积和表面积各是多少？（长度单位：厘米）

 http://s4/mw690/006UP92yzy7fopoHdZNb3&690

【解析】：

原正方体棱长为8厘米。

在原正方体的一个角上切去一个长方体，表面积减少部分相当于切去长方体的3个面，表面积新增加了三个面恰好是相对的长方体的另外3个面，减少部分和增加部分抵消了，因此剩下图形的表面积就等于原正方体的表面积：

8×8×6﹦438（平方厘米）。

剩下图形的体积为：

8×8×8－2.5×2.5×4﹦487（立方厘米）。

《奥赛天天练》第30讲，拓展提高，习题1

【题目】：

一个长方体水箱，长30厘米，宽42厘米，水箱里装着水，并有一个长21厘米，宽15厘米的小长方体铁块完全浸没在水中，当把水中的铁块取出后，水面下降了1厘米，铁块的高是多少厘米？

【解析】：

把水中的铁块取出后，水箱里的水的总体积减少部分即下降的水的体积，就等于铁块的体积：

30×42×1﹦1260（立方厘米）。

根据铁块的体积和长、宽，可以求出铁块的高为：

1260÷21÷15﹦4（厘米）。

《奥赛天天练》第30讲，拓展提高，习题2

【题目】：

如图所示是一个长8分米，宽6分米，高5分米的长方体木块，现将它按图中虚线锯开，先锯成24块小长方体，这24块小长方体的表面积之和是多少？

 http://s16/mw690/006UP92yzy7fopvYDfhbf&690

【解析】：

我们把由长方体长和宽围成的上下两个面叫做长方体的长宽面，由宽和高围成的左右两个面叫做长方体的宽高面，又长和高围成的两个面叫做长方体的长高面。

如上图所示，沿着长宽面锯开了3次；沿着长高面锯开了1次，沿着宽高面锯开了2次。每锯开一次就增加2个对应面的面积。这24块小长方体的表面积之和就等于原长方体的表面积加上锯开时增加面的面积：

8×6×（2＋3×2）＋8×5×（2＋1×2）＋6×5×（2＋2×2）

﹦724（平方厘米）。