四年级奥数解析（十八）加法原理与乘法原理（三）

《奥赛天天练》第18讲，模仿训练，练习1

【题目】：

如下图，一只小甲虫要从A点出发沿着线段爬到B点，要求任何点和线段不可重复经过，问这只甲虫有多少种不同的走法？

 

【解析】：

把小甲虫要从A点出发沿着线段爬到B点的走法分为两大类：

第一类：分两步，最先到达C点，再到B点。

第一步从A到C只有一种走法（不能经过D点）；第二步从C点到B点有3种走法。共有走法:1×3=3(种)。

第二类：分两步，最先到达D点，再到B点。

第一步从A到D有2种走法（不能经过C点）；第二步从D点到B点有3种走法。共有走法:2×3=6(种)。

所以，小甲虫共有不同的走法：1×3+2×3=9(种)。

《奥赛天天练》第18讲，模仿训练，练习2

【题目】：

从5幅国画，3幅油画，2幅水彩画中选取两幅不同类型的画布置教室，问有几种不同的选法？

【解析】：

在三种不同类型的画里选择两种不同类型画有3种不同的选法，因此先把所有的选法分为三大类：

第一类：选1幅国画、1幅油画。

分两步完成，第一步选1幅国画有5种选法，第二步选油画有3种选法。对于前面国画的每一种选法，油画都有3种选法，共有选法：5×3=15（种）。

第二类：选1幅国画、1幅水彩画。

与第一类同理，共有选法：5×2=10（种）。

第三类：选1幅油画、1幅水彩画。

与第一类同理，共有选法：3×2=6（种）。

所以，共有不同的选法：15+10+6=21（种）。

《奥赛天天练》第18讲，巩固训练，习题1

【题目】：

如下图，要从A点沿线段走到B点，要求每一步都是向右、向上或向斜上方，问有多少种不同的走法？

 

【解析】：

如下图，先用字母标出图中的每一个点，沿右上方向从点A到点B可以分为多步走，而每一步的走法又可以分为几类，比较复杂，需要重复综合使用加法原理和乘法原理。

 

上图中，从右上往左下逐步分析：

因为每一步都是向右、向上或向斜上方，因此每个点只能经过它左、下或左下方的点到达。

最后一步到达点B的走法有两类：由I到B或由J到B。A到B的不同走法种数，就等于A到I的走法种数与A到L的走法种数之和。

此前一步，①到点I的走法有两类：由F到I或由G到I,走法种数即A到F的走法种数与A到G的走法种数之和；②到点J的走法有三类：分别由I、G或H到J,走法种数即A到I的走法种数、A到G的走法种数与A到H的走法种数之和。

依次类推……

从左下到右上标出点A到每个点的走法种数，逐层解题：

第一层：从A到C、D、E三个点只能向右，都只有1种走法。

第二层：到F点有两类走法，分别由A、C到达，每类都只有一种走法，共2种走法；到G点有三类走法，分别由F、C、D到达，三类走法种数之和为4种；到H点有三类走法，分别由G、D、E到达，三类走法种数之和为6种。

第三层：到I点有两类走法，分别由F、G到达，两类走法种数之和为6种；到J点有三类走法，分别由I、G、H到达，三类走法种数之和为16种。

最后一步到B点有两类走法，分别由I、J到达，两类走法种数之和为22种。

所以，从A到B共有不同的走法22种。

按：类似的复杂路线问题，都可以用这种方法求解。

《奥赛天天练》第18讲，巩固训练，习题2

【题目】：

如下图，用红、绿、蓝、黄四种颜色涂编号为1，2，3，4的长方形，使任何相邻的两个长方形的颜色都不同。一共有多少种不同的涂法？

 

【解析】：

涂色的过程可以分为三步。

第一步：给1号长方形涂色，有4种涂法。可以选任意一种颜色。

第二步：给2号长方形涂色，有3种涂法。对于1号长方形每种不同的涂法，2号长方形都可以在剩下的3种颜色里选任意一种，即有3种涂法。

所以，前两步1号和2号长方形共有配色方案4个3种：4×3=12（种）。

第三步：给3号、4号长方形涂色。

3号长方形与1号相邻，与2号不相邻，对于1、2号长方形的每一种配色方案，3号长方形都可以选与1号不同的3种颜色，按3号长方形的涂色情况，可把本题的涂法分为两大类：

第一大类，3号长方形选与2号相同的颜色。

3号长方形只有一种涂法，这时4号长方形可以选与2号不同的3种颜色，有3种涂法。

第一类共有不同涂法：12×1×3=36（种）。

第二类，3号长方形选与1、2号都不同的颜色。

3号长方形有2种涂法，这时4号长方形可以选剩下的与2号、3号不同的2种颜色，有2种涂法。

第二类共有不同涂法：12×2×2=48（种）。

所以，这题一共有不同的涂法：36+48=84（种）。

《奥赛天天练》第18讲，拓展提高，习题1

【题目】：

有两个相同的正方体，每个正方体的6个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6。将两个正方体放在桌面上，向上的一面数字之和为偶数的有多少种情形？

【解析】：

假定这两个正方体分别为A正方体和B正方体。分两步确定向上的一面数字之和。

第一步，确定A正方体向上一面的数字，共有6种不同的情形：1，2，3，4，5，6；

第二步，确定B正方体向上一面的数字，有3种情形。因为B正方体面上有3个奇数，3个偶数，无论A正方体朝上的面上的数字是奇数还是偶数，对应的B正方体向上一面的数字都会有3种不同的情形，满足两面数字之和为偶数。

所以，向上的一面数字之和为偶数的情形有：6×3=18（种）。

《奥赛天天练》第18讲，拓展提高，习题2

【题目】：

2003年12月6日0时起，南京市电话号码从7位升至8位。由于特殊需要，电信部门一直有这样的规定：普通市内电话号码的首位数字不使用0，1，9。升位前南京市普通电话号码的容量为多少门？升位后，南京市内电话号码的容量增加了多少门？

【解析】：

电话号码由0～9共10个数字组成，数字可以重复使用。

升位前的7位电话号码，首位数字不使用0，1，9，共有7种不同的选择，第二、三、四、五、六、七位数字都有10种不同选择。总容量为：

7×10×10×10×10×10×10=7000000（门）。

同理可算出，升位后8位电话号码总容量为：

7×10×10×10×10×10×10×10=70000000（门）。

升位后，南京市内电话号码的容量增加了：

70000000－7000000=6300000（门）。