数学核心素养“数学抽象”的实践案例——

《探索与表达规律》教学设计

董湘宁

第一环节：教学任务分析

学习目标：

(1)知识目标：在对日历的观察探究活动中，发现日历中横列、竖列的数以及一组数之间的关系，并能用代数式表示其中的规律.

(2)能力目标：培养学生从一般到特殊的抽象思维能力，体会类比的数学思想方法.

(3)情感目标：能运用所学的规律解决现实生活问题，体会数学的应用价值.

重点与难点：

重点：探索实际问题中蕴涵的关系和规律.

难点：用字母表示一般规律.

教学准备：多媒体日历.

教学方法：合作探究.

第二环节：教学过程

一、复习知识：

1、练习：观察数字找规律并且填空：

（1）一列数2、4、6、_____、10、12……中，第n个数是 _____ .

（2）一列数 1、3、5、_____、9、11……中，第n个数是_____ .   

（3）一列数1、4、9、_____、25、36……中，第n个数是_____ .      

二、探索日历中的数学规律：日历中的关系用代数式表示，观察几个数的和与中间数的关系。

1、任意找出一横行上相邻的三个数，它们的和与中间数有什么关系？设任意一个数字为a，证明你的结果。

星期日	星期一	星期二	星期三	星期四	星期五	星期六
		1	2	3	4	5
6	7	8	9	10	11	12
20	21	22	23	24	25	26
27	28	29	30	31

解：设横行三个数字的任意一个数字为a，则三个数字可分别表示为：

得：(a-1)+a+(a+1)=3a

所以横行每种情况下，和均为3a，和是中间数的3倍。

2、任意圈出一列上相邻的三个数，它们的和与中间数有什么关系？

星期日	星期一	星期二	星期三	星期四	星期五	星期六
		1	2	3	4	5
6	7	8	9	10	11	12
20	21	22	23	24	25	26
27	28	29	30	31

解：设竖列三个数字的中间数为a，则竖列上的数字可分别表示为：

得：(a-7)+a+(a+7)=3a

所以竖列三个数字的和为3a，和是中间数的3倍。

练习1：日历上同一行上相邻三个数之和为45，则其中最大的数是_____ .

解：设同一行中间数字为a，则 3a=45   解得： a=15    

所以最大数字为a+1=16

练习2：日历上同一列上相邻三个数之和为45，则其中最小的数是 _____ .

解：设同一列中间数字为a，则 3a=45   解得：a=15    

所以最小数字为a-7=8

3、你还能发现这样的方框中9个数，它们的和与正中间的数字有什么关系？请用代数式表示。

星期日	星期一	星期二	星期三	星期四	星期五	星期六
		1	2	3	4	5
6	7	8	9	10	11	12
20	21	22	23	24	25	26
27	28	29	30	31

提问：

（1）请思考方框中五个数的和与正中间的数有什么关系？

（2）请同学们拿出日历，任意用方框框住这份日历中其它的五个数，这个关系是否成立？

学生根据方框中数的不确定性，引导他们想到用字母表示数，学生可能设任意一个方格的数为字母（任意），表示出其余的八个数，通过代数和运算发现，设正中间的数为字母计算较为简单，得到“问什么设什么”，根据代数和的运算验证了猜想的正确性.

从而得到规律：蓝色方框中九个数之和=9×正中间的数得到：(a-1)+(a+1)+(a-7)+(a+7)+a+(a-8)+(a+8)+(a-6)+(a+6)=9a

a-8	a-7	a-6
a-1	a	a+1
a+6	a+7	a+8

所以9个数字之和为9a，即为正中间数的9倍.

练习3：从日历中任意框出3×3九个数之和为153，请问这九个日期分别是几号？

解： 设这个3×3方框中正中间数字为a，

        则 9a=153

        解得：a=17

所以这九个日期分别是9、10、11、16、17、18、23、24、25.

3、 挑战： 给出几个图形，如“十”字形、“H”形，“M”形，让学生以小组为单位对相应图形中数的规律进行探究，并用代数式表示验证规律，并分小组展示.

4、 任意圈出十字形的五个数，它们的和与正中间的数字有什么关系？

星期日	星期一	星期二	星期三	星期四	星期五	星期六
		1	2	3	4	5
6	7	8	9	10	11	12
20	21	22	23	24	25	26
27	28	29	30	31

提问：

（1）请思考方框中五个数的和与正中间的数有什么关系？

（2）请同学们拿出日历，任意用方框框住这份日历中其它的五个数，这个关系是否成立？

证明：若设正中间的数字为a，则十字框内的数字可表示为：

得到：(a-1)+(a+1)+a+(a-7)+(a+7)=5a

所以五个数之和是正中间数的5倍.

6、任意圈出H形的七个数，它们的和与正中间数有什么关系？

星期日	星期一	星期二	星期三	星期四	星期五	星期六
		1	2	3	4	5
6	7	8	9	10	11	12
20	21	22	23	24	25	26
27	28	29	30	31

解：设七个数字的正中间数为a

(a-1)+(a+1)+(a-6)+a+(a+6)+(a-8)+(a+8)=7a

在“H形”中，七个数之和是7a，和是正中间数的7倍。

目标：在实际教学过程中，学生自由探究、纷纷想办法解决问题，教师让学生展开交流与讨论。学生通过观察、比较、猜想、归纳和验证等步骤就得出了多种规律来，如学生得出了“十”字型、“H” 型、“W”型等多种情形下的不同的规律，得出了各种结论，还用所学的知识验证了这些规律。

四、随堂练习：

1、下面是用棋子摆成的小房子，第n个这样的“小房子”需要多少个棋子？你是如何得到的？

 

 

 

第n个房子	1	2	3	4	5	…	n
棋子个数						…

请学生谈谈学习本节课的收获和体会，包括探索规律的基本知识和基本方法。

五、小结：探索日历中的规律

(1)寻找数量关系：横行或竖列的数字关系；

(2)用代数式表示规律：用代数式表示每个方格中的数字；

(3)验证规律：验证每种图形的数字和与中间数的关系。