《同角三角函数的基本关系》教学设计

 

一、教材分析

与三角函数的定义域、符号的确定一样,同角三角函数的基本关系式的推导,紧扣了定义,是按照一切从定义出发的原则进行的,通过对基本关系的推导,应注意学生重视对基本概念学习的良好习惯的形成,学会通过对基本概念的学习,善于钻研,从中不断发掘更深层次的内涵.

同角三角函数的基本关系式将“同角”的四种不同的三角函数直接或间接地联系起来,在使用时一要注意“同角”,至于角的表达形式是至关重要的,如sin²4π+cos²4π=1等,二要注意这些关系式都是对于使它们有意义的那些角而言的,如tanα中的α是使得tanα有意义的值,即α≠kπ+ ,k∈Z.

二、学情分析

    已知任意角的正弦、余弦、正切中的一个值便可以运用基本关系式求出另外的两个,这是同角三角函数关系式的一个最基本功能,在求值时,根据已知的三角函数值,确定角的终边的位置是关键和必要的,有时由于角的终边的位置不确定,因此解的情况不止一种,解题时产生遗漏的主要原因一是没有确定好或不去确定终边的位置;二是利用平方关系开方时,漏掉了负的平方根.

三、教学目标：

知识与技能：

(1) 使学生掌握同角三角函数的基本关系；

(2)已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值；

(3)利用同角三角函数关系式化简三角函数式；

(4)利用同角三角函数关系式证明三角恒等式；

（5）牢固掌握同角三角函数的三个关系式并能灵活运用于解题，提高学生分析，解决三角问题的能力；

（6）灵活运用同角三角函数关系式的不同变形，提高三角恒等变形的能力，进一步树立化归思想方法；（7）掌握恒等式证明的一般方法.

过程与方法：

由圆的几何性质出发,利用三角函数线,探究同一个角的不同三角函数之间的关系；学习已知一个三角函数值，求它的其余各三角函数值；利用同角三角函数关系式化简三角函数式；利用同角三角函数关系式证明三角恒等式等.通过例题讲解，总结方法.通过做练习,巩固所学知识.

 情感、态度与价值观

通过本节的学习，牢固掌握同角三角函数的三个关系式并能灵活运用于解题，提高学生分析，解决三角问题的能力；进一步树立化归思想方法和证明三角恒等式的一般方法.

四、教学重点

重点：公式 及 的推导及运用：（1）已知某任意角的正弦、余弦、正切值中的一个，求其余两个；（2）化简三角函数式；（3）证明简单的三角恒等式.

五、教学难点 

难点：根据角α终边所在象限求出其三角函数值；选择适当的方法证明三角恒等式.

六、教学方法

    问题引导，主动探究，启发式教学．

七、教学过程

导入新课

与初中学习锐角三角函数一样，本节课我们来研究同角三角函数之间关系，弄清同角各不同三角函数之间的联系，实现不同函数值之间的互相转化．

新知探究

  探究1:三角函数是以单位圆上点的坐标来定义的,

你能从圆的几何性质出发,讨论一

下同一个角不同三角函数之间的关系吗?

如图:以正弦线 ,余弦线 和半径 三者的长构成

直角三角形,而且 .由勾股定理由 ,

因此 ,即 .

根据三角函数的定义,当 时,有 .

这就是说,同一个角 的正弦、余弦的平方等于1，商等于角 的正切.

学以致用

例1 已知sinα= ,并且α是第二象限的角,求cosα,tanα的值.

   活动:同角三角函数的基本关系学生应熟练掌握,先让学生接触比较简单的应用问题,明确和正确地应用同角三角函数关系.可以引导学生观察与题设条件最接近的关系式是sin²α+cos²α=1,故cosα的值最容易求得,在 求cosα时需要进行开平方运算,因此应根据角α所在的象限确定cosα的符号,在此基础上教师指导学生独立地完成此题.

解:因为sin²α+cos²α=1,所以cos²α=1-sin²α=1-( )²= .

又因为α是第二象限角,所以cosα<0.于是cosα= = ,

从而tanα= = ×( )= .

点评:本题是直接应用关系求解三角函数值的问题,属于比较简单和直接的问题,让学生体会关系式的用法.

应使学生清楚tanα= 中的负号来自α是第二象限角,这也是根据商数关系直接运算后的结果,它不同于在选用平方关系式的三角函数符号的确定.

例2 已知cosα= ,求sinα,tanα的值.

    活动:教师先引导学生比较例1、例2题设条件的相异处,根据题设条件得出角的终边只能在第二或第三象限.启发学生思考仅有cosα<0是不能确定角α的终边所在的象限,它可能在x轴的负半轴上(这时cosα=-1).

    解:因为cosα<0,且cosα≠-1,所以α是第二或第三象限角.如果α是第二象限角,那么

sinα== = ,   tanα= = ×( )= ,

      如果α是第三象限角,那么sinα= ,tanα= .

    点评:在已知角的一个三角函数值但是不知道角所在的象限的时候,应先根据题目条件讨论角的终边所在的象限,分类讨论所有的情况,得出所有的解.

例3. 已知tanα为非零实数,用tanα表示sinα、cosα.

    活动:引导学生思考讨论:角的终边在什么位置;能否直接利用基本关系式求出sinα或cosα的值.由tanα≠0,只能确定α的终边不在坐标轴上.关于sinα、cosα、tanα的关系式只有tanα= ,在这个式子中必须知道其中两个三角函数值,才能求出第三个,因此像这类问题的求解,不能一步到位,需要公式的综合应用.其步骤是:先根据条件判断角的终边的位置,讨论出现的所有情况.然后根据讨论的结果,利用基本关系式求解.分情况求出cosα,进而求出sinα.

解:因为sin²α+cos²α=1,所以sin²α=1-cos²α.又因为tanα= ,

所以tan²α= = .于是 =1+tan²α,cos²α= .

由tanα为非零实数,可知角α的终边不在坐标轴上,从而

cosα=

sinα=cosαtanα=

    点评:要求学生灵活运用三角函数公式进行变形、化简、求解.需要学生认真细致分析题目的条件,灵活运用公式,需要较高的思维层次.

变式训练1.已知cosα≠0,用cosα表示sinα、tanα.

解:本题仿照上题可以比较顺利完成.

sinα=

tanα=

例4 求证:

    活动:先让学生讨论探究证明方法,教师引导思考方向.教材中介绍了两种证明方法:证法一是从算式一边到另一边的证法,算式右边的非零因式1+sinα,在左边没有出现,可考虑左边式子的分子、分母同乘以1+sinx,再化简;在证法二中可以这样分析,要让算式成立,需证cos²x=(1+sinx)(1-sinx),即cos²x=1-sin²x,也就是sin²x+cos²x=1,由平方关系可知这个等式成立,将上述分析过程逆推便可以证得原式成立.

证法一:由cosx≠0,知sinx≠1,所以1+sinx≠0,于是

左边=

所以原式成立.

证法二:因为(1-sinx)(1+sinx)=1-sin²x=cos²x=cosxcosx,且1-sinx≠0,cosx≠0,所以

教师启发学生进一步探究:除了证法一和证法二外你可否还有其他的证明方法.教师和学生一起讨论,由此可探究出证法三.依据“a-b=0 a=b”来证明恒等式是常用的证明方法,由学生自己独立完成.

证法三:因为

所以

点评:这是一道很有训练价值的经典例题,教师要充分利用好这个题目.从这个例题可以看出,证明一个三角恒等式的方法有很多.证明一个等式,可以从它的任何一边开始,证得它等于另一边;还可以先证得另一个等式成立,从而推出需要证明的等式成立.

例5 化简

    活动:引导学生探究:原式结果为cos440°时是不是最简形式,还应怎么办?教师引导学生运用诱导公式一化简为cos80°,由于cos80°>0,因此 =｜cos80°｜=cos80°,此题不难,让学生独立完成.

解:原式= = = =cos80°.

    点评:恰当利用平方关系和诱导公式化简三角函数式.提醒学生注意化简后的简单的三角函数式应尽量满足以下几点:(1)所含的三角函数种类最少;(2)能求值(指准确值)的尽量求值;(3)不含特殊角的三角函数值.

变式训练2化简:

答案:cos40°-sin40°.

点评:提醒学生注意:1±2sinαcosα=sin²α+cos²α±2sinαcosα=(sinα±cosα)²,这是一个很重要的结论.

六、课堂小结

由学生回顾本节所学的方法知识:同角三角函数的基本关系式及成立的条件,根据一个任意角的正弦、余弦、正切中的一个值求出其余的两个值(可以简称“知一求二”)时要注意这个角的终边所在的位置,从而出现一组或两组或四组(以两组的形式给出).

     “知一求二”的解题步骤一般为:先确定角的终边位置,再根据基本关系式求值,若已知正弦或余弦,则先用平方关系,再用其他关系求值;若已知正切或余切,则构造方程组求值.

    教师和学生一起归纳三角函数式化简与三角恒等式的证明的一般方法及应注意的问题,并让学生总结本节用到的思想方法.

七、课后作业

课本P117习题3—1  A组1(2)(3)、2、3、6（1）（3）(5)

八、板书设计

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

九、教学反思

   同角三角函数基本关系式的推导对学生来说并不困难，难在基本关系的应用上，特别是三角函数式化简与三角恒等式的证明，证明三角恒等式的常用方法有：

直接法：从等式的一边开始直接化为等式的另一边.综合法：由一个已知成立的等式(如公式等)恒等变形得到所要证明的等式.中间量法：证明等式左右两式都等于同一个式子.比较法：设法证明：“左边－右边＝0” 要让学生体会并学会应用。