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有一天，汤普金斯先生在银行里做了一整天工作（他们正忙着完成房产方面的业务），回家的路上，他感到非常疲倦。这时，他正好走过一家酒馆，便决定进去喝杯啤酒。一杯下去了，接着又是一杯，不久，汤普金斯先生开始感到有点醉意了。酒馆后面有个台球房，里面有许多人套着套袖围着当中那张台子打台球。他模模糊糊地记起他以前曾到这里来过，那是一个年轻的同事带他来，教他怎样打台球的。于是，他走近台子，开始专心看别人怎样玩。突然，一件非常费解的事情发生了！有一个人把一个台球放在台子上，用球杆把它击了一下。在注视那个滚动着的台球时，汤普金斯先生十分惊讶地发现，那个台球开始“弥散”开了。“弥散”这个词，是他为说明那个球的奇怪表现所能找到的惟一表达方法，因为它在滚过绿色的台毯时，似乎变得越来越模糊，失去了明确的轮廓，好像在台上滚的不是一个球，而是许许多多个彼此有一部分互相叠合的球似的。汤普金斯先生无法理解为什么现在会发生这种情况。“得，”他想，“让我们看看这个松包球怎样打另一个球吧！”

那个打球的人显然是个高手，所以，那个滚动的球正像人们所说的那样，把另一个球打个正着。这时发出了一声响亮的撞击声，原来静止的台球和那个射来的台球（不过，汤普金斯先生无法确定，它们当中究竟哪个是前者，哪个是后者），两者都“朝四面八方”快速地滚去。这确实是非常奇怪的事，现在不再是两个看来有点松散的台球，而似乎有无数个台球，它们全都非常模糊，非常松散，大致在原来撞击方向180°角的范围内向外滚去。这相当像是个从撞击点向外扩展的独特的波。

但是，汤普金斯先生注意到，在原来那个撞击方向上，台球的流量最大。

这是概率波的一个很好的事例

“这是概率波的一个很好的事例，”在他背后响起了一个熟悉的声音，汤普金斯先生听出这是教授在说话。

“啊，是你来了，”他说，“好极了。也许你可以给我解释一下这里发生的事。”

“当然可以啦，”教授说，“这家台球房的主人收集到这里的东西是患了‘量子象牙症’的，如果我可以这样说的话。不错，自然界的一切物体都服从量子规律，但是，在那些现象中起作用的所谓量子常数是非常非常小的，事实上，它的量值是在小数点以后还有27个零的数字，至少在一般情况下是这样。不过，对于这里的台球来说，这个常数要大得多了——大约等于1。因此，你才能够轻易地亲眼看到这种量子现象，通常，这可是只有利用非常灵敏、巧妙的观察方法才能够发现的。”说到这里，教授沉思了片刻。“我并不想进行考证，”他继续说，“但是，我倒很想知道那个家伙是从哪里弄到这些球的。严格地说，这样的球在我们这个世界是不可能存在的，因为对于我们这个世界的一切物体来说，量子常数只具有很小很小的值。”

“也许他是从另一个世界进口的吧。”汤普金斯先生提醒说。

但是，教授并不满足于这种说法，他仍然保持怀疑的态度。“你已经注意到了，”他继续说，“那两个球都发生了‘弥散’。这就是说，它们在球台上的位置是不十分确定的。实际上，你无法精确地指出一个球的位置，你最多只能说，那个球‘基本上在这里’，但‘也有可能在别的什么地方’”。

“这可是一种十分反常的说法。”汤普金斯先生嘟哝着。

“恰恰相反，”教授坚持说，“这是绝对正常的——从任何物体总会发生这种事这个意义上说。人们只不过是由于量子常数的值大小和一般观察方法太粗糙，才没有注意到这种测不准性。他们得到一个错误的结论说：位置和速度都是永远可以准确测定的量。事实上，这两个量都总是有某种程度的测不准性，并且，其中一个量测得越准确，另一个量就越弥散，越测不准。量子常数所起的作用，正好就是它决定了这两个测不准的量之间的关系。注意，现在我要把这个球放进三角木框里，把它的位置明确地限制起来了。”

那个球一放进木框里，整个三角框的内部就到处闪烁着象牙的白光。

台球被限定在三角框里

“你看，”教授说，“我把台球的位置限定在三角框里几分米范围内了，这就使速度产生了相当可观的测不准性，所以台球在木框里迅速地运动。”

“你能让它停下吗？”汤普金斯先生问道。

“不，从物理学上说，这是不可能的。任何一个处在封闭空间内的物体都有一定的运动——我们物理学家把它称为零点运动。举个例子吧，任何原子中的电子的运动都属于这一类。”

就在汤普金斯先生注视那个球像笼子里的老虎一样，不断地在框子里来回猛冲的时候，发生了一件极不寻常的事。那个球竟直接穿过三角框的框壁“漏”了出来，接着就向球台远处那个角落滚过去。事情怪就怪在它确实不是越过三角框跳出来，而真的是穿过没有空隙的木壁钻出来，一点也没有离开台面。

“看到了吗？”教授说，“事实上，这恰好是量子论的一个最有意思的后果。任何一件东西，只要它的能量大到在穿过围墙以后还能继续跑开，你就不可能把它囚禁在封闭的围墙里。这个物体早晚总是要直接从围墙‘漏出’跑掉的。”

“要是这样，我就再也不上动物园去了。”汤普金斯先生断然地说，他那活泼的想象力已经描绘出一幅从笼子里“漏出”的老虎同狮子打架的情景了。然后，他的思想又转到一个稍稍不同的方向上去：要是他的汽车也从锁得好好的车库里漏出来呢？他想象一辆好好锁在车库里的汽车，突然像中世纪传说中的老妖精那样，“钻过”汽车库的墙壁闯了出来。

要是他的汽车也从锁得好好的车库里漏出来呢？

“我得等待多长时间，”他问教授，“才能看到一辆汽车——可不是用这里这种愚弄人的材料制造的，而是真正用钢铁制成的汽车——穿过汽车库的砖墙‘漏’出来？我倒确实很想看一看哩！”

教授很快地在脑子里算了一下，便把答案准备好了，“这大概需要等待100 000 000 … 000年。”

尽管汤普金斯先生在银行业务中经常接触到巨大的数字，他却弄不清教授所说的数字中到底有多少个零——反正数字是够长的，长到他完全不必担心他的汽车会自己跑掉。

“就算我相信你所说的一切都是正确的，可我仍旧不明白，这样的事怎么能够观察到，如果我们没有这里这些台球的话。”

“这是一个合理的反对意见，”教授说，“当然，我的意思并不是说，在你经常接触的那些物体上，也能够观察到量子现象。问题在于，量子规律只有在应用到原子或电子这类非常小的质量上时，它们的效应才会变得显著得多。对于这些粒子来说，量子效应已经大到一般力学完全失效的程度。两个原子之间的碰撞，看起来完全同你刚才观察到的两个‘量子象牙’台球的碰撞一样；而电子在原子中的运动，则同我放进三角框里的台球的‘零点运动’非常相似。”

“电子是不是常常从原子中跑出？”汤普金斯先生问道。

“不，不是的，”教授急忙回答说，“根本不会发生这种情形。你大概还记得我说过，物体一旦通过势垒漏出，还必须有足够的能量跑开。电子是依靠它所带的负电荷与原子核中质子的正电荷之间的静电引力，才保持在原子里的。电子没有足够的能量摆脱这种吸引，所以它就无法跑开。如果你想看到粒子漏出的情况，那么，我建议你去观察重原子核。从某种意义上说，重原子核的表现就像是由一些α粒子组成的。”

“α粒子？那是什么？”

“α粒子是由于某种历史原因而给氦原子核起的名称。它由两个中子和两个质子组成，而且结合得异常牢固：那4个粒子可以非常有效地‘贴在一起’。就像我刚刚说过的，由于α粒子结合得极其牢固，在某些情况下，重原子核的表现就像是一些α粒子的集合体，而不像是由单个中子和质子组成的。虽然这些α粒子也在原子核的整个体积内运动着，但是，它们却依靠那种把核子结合在一起的短程核引力而保持在原子核的体积内，至少在正常状况下是这样的。但是，常常也有一个α粒子漏了出来：它跑到那种把它保持在原子核内的核引力的作用范围外。事实上，它现在只受到它自己的正电荷与它留在后面的其他α粒子的正电荷之间的长程静电斥力的作用。因此，现在这个α粒子便被推到原子核的外面了。这是放射性原子核的一种衰变方式，你可以看出，这个α粒子同你那辆锁在车库里的汽车十分相似，只不过。粒子的漏出要比你的汽车快得多罢了！”

在进行这次长谈以后，汤普金斯先生感到疲惫不堪，他精神涣散。漫无目标地四顾着。他的注意力被房间角落里一座巨大的老爷时钟吸引住了，它那长长的老式钟摆正在缓慢地来回摆动着。

“我看，你是对这座时钟发生兴趣了，”教授说，“这也是一种不大寻常的机器哩，不过，它目前已经过时了。这座时钟所代表的，正好是人们最初思考量子现象时所用的途径。它的钟摆的装法，使得摆幅只能够改变有限多次。可是，现在所有钟表制造者都宁愿采用巧妙的弥散摆。”

“啊，我希望我能够理解这一切复杂的事物！”汤普金斯先生感慨地说。

“好极了，”教授立即反应说，“我是在去作量子论演讲的途中拐进这家酒馆来的，因为我从窗外看到了你。要是我不准备迟到，现在我就该走了。你愿意一块去吗？”

“好的，我去。”汤普金斯先生说。

像通常那样，演讲厅里坐满了学生，汤普金斯先生虽然只能在台阶上找个座位，但已觉得很满意了。

女士们，先生们——教授开始演讲了——

在前两次演讲中，我曾努力对你们说明，由于发现一切物理速度都有一个上限，以及对直线这个概念进行了分析，我们完全改造了19世纪的时空观念。

但是，对物理学基础进行批判分析所得到的进展，并没有停止在这个阶段上，接着又有了一些更加令人惊奇的发现和结论。我这里所指的是物理学中那门被称为量子论的分支学科，它同时间和空间自身的性质关系不大，但同物体在时间和空间中的相互作用和运动却有密切的关系。

古典物理学总是认为，不需要任何证明就可以肯定地说，通过改变实验的条件，可以把任何两个物理客体之间的相互作用降低到要多小有多小，在必要时甚至可以把它降低到实际上等于零。譬如说，在研究某些过程所产生的热时，人们要担心放进温度计会把一部分热量带走，从而使所要观察的过程不能正常进行，但是，实验工作者们总是确信，采用比较小的温度计或非常精致的温差电偶，就能够把这种干扰降低到所要求的精确度极限以下。

过去人们确信，从原理上说，任何一种物理过程都可以用任意高的精确度进行观察，观察本身并不会对所观察的过程产生干扰。这种信念是那么根深蒂固，因此，人们从来没有想到需要把这样一种提法明确地加以说明，并且总是把所有有关的问题都当作纯技术性的困难来处理。但是，20世纪开始以来所积累的许多新的实验事实，却不断促使物理学家作出结论说，真实的情况确实要复杂得多，并且，在自然界中存在着一个确定的互相作用下限，这个下限是永远不能超越的。就我们日常生活中所熟悉的各种过程而论，这个天然的精确度极限小到可以忽略不计，但是，当我们所要处理的是在原子或分子这类极微小的力学系统中发生的过程时，这个极限便变得非常重要了。

1900年，德国物理学家普朗克 [1] 在从理论上研究物体与辐射之间的平衡条件时，得出了一个令人惊讶的结论说，这种平衡是根本不可能达到的，除非我们假设物质与辐射之间的相互作用并不像我们通常设想的那样连续，而是通过一系列不连续的‘冲击’来实现的，在每一次这样的基本相互作用中，都有一定量的能量从物质转移给辐射或从辐射转移给物质。为了达到所要求的平衡，并且使理论同实验事实相一致，必须在每次冲击所转移的能量与那个导致能量转移的过程的频率（周期的倒数）之间，引入一个简单的数学比例关系式。

这样一来，普朗克不得不作出结论说，在用符号h代表这个比例常数时，每次冲击所转移的最小能量（即所谓量子）可由下式算出：

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式中ν是辐射的频率。常数h的数量值等于6.547×10 ^-34 焦·秒，它通常被称为普朗克常数或量子常数。量子常数的数量值极其微小，这就是我们在日常生活中通常观察不到量子现象的原因。

普朗克这种想法的进一步发展应该归功于爱因斯坦，他在几年后得出了一个结论说，辐射不仅仅在发射时才分成一个个大小有限的、分立的部分，并且永远以这样的方式存在，也就是说，它永远是由许多分立的“能包”组成的。爱因斯但把这种能包称为光量子。

只要光量子在运动着，那么，它们除了具有能量hν以外，还具有一定的动量，根据相对论性力学，这个动量应该等于它们的能量除以光速c。正如光的频率同波长λ之间存在着ν=c/λ的关系一样，光量子的动量p同它的频率（或波长）也存在着下面的关系：http://s2/mw690/006RZYeNzy7in0vgwN391&690

由于运动物体在碰撞中所产生的力学作用取决于它的动量，我们必须作出结论说，光量子的作用随着波长的减小而增大。

最出色地证明存在光量子和光量子具有能量和动量这个想法的实验事实，是美国物理学家康普顿 [2] 的研究所提供的。他在研究光量子和电子的碰撞时，得到了这样一个结果：因受光线的作用而开始运动的电子的表现，正好同电子被一个具有式 (1) 和 (2) 所给出的能量和动量的粒子击中时相同。光量子本身在同电子碰撞以后，也显示出发生了某些变化（它们的频率改变了），这也同量子论的预言非常相符。

我们目前可以说，就辐射同物质的相互作用而论，辐射的量子性质已经是完全确定下来的实验事实了。

量子概念的更进一步的发展归功于著名的丹麦物理学家N．玻尔 [3] ，他在1913年最早提出了这样一个想法：任何一个力学系统内部的运动只可能具有一套分立的能量值，并且，运动只能通过有限大小的跳跃而改变其状态，在每一次这样的跃迁中，都会辐射（或吸收）一定量的能量（等于那两个容许能态之间的能量差）。他的这种想法是受到当时对原子光谱的观察结果的启发：当原子中的电子发出辐射时，最后得到的光谱并不是连续的，而只含有某些确定的频率——线光谱。换句话说，根据等式 (1) ，所发出的辐射只能具有某些确定的能量值。如果玻尔关于发射体（现在是原子中的电子）的容许能态的假说是正确的，那么，出现线光谱的原因就很容易理解了。

确定力学系统各种可能状态的数学法则要比辐射的公式复杂得多，所以我不想在这里讨论。简单地说吧，如果想圆满地描述像电子这样的粒子的运动，就必须认为它们具有波动性。这样做的必要性是法国物理学家德布罗意根据他自己对原子结构的理论研究最先提出的。他认识到，处在有限空间中的波，不管是风琴管里的声波，还是小提琴琴弦的振动，都只能具有某些确定的频率或波长。这些波必须“适应”那个有限空间的大小，并且产生我们所谓的“驻波”。德布罗意 [4] 主张说，如果原子中的电子具有波动性，那么，由于电子的波受到限制（限制在原子核的旁边），它的波长也只能取驻波所能具有的分立值。不仅如此，如果用一个类似于等式 (2) 的方程把上述的波长同电子的动量联系起来，即http://s9/mw690/006RZYeNzy7in0x5uxa28&690

那么，其结果必定是电子的动量（因而连其能量）也只能取某些确定的容许值。当然，这就非常清楚地解释了为什么原子中的电子具有分立的能级，以及为什么它们发出的辐射会产生线光谱了。

在接下来的许多年里，物质粒子运动的波动性已经被无数实验牢固地证实了。这些实验表明，电子束在通过小孔时所发生的衍射，以及像分子这样比较大。比较复杂的粒子所发生的干涉，都属于这类现象。当然，从古典的运动概念的观点来看，对物质粒子所观察到的这种波动性是绝对无法理解的。所以，德布罗意本人不得不采纳一种当时看来十分奇怪的观点，认为粒子总是由某种波“伴随”着，可以说，就是这种波在“指挥”着粒子的运动。

由于常数ｈ的值极小，物质粒子的波长是异常小的，即使对于最轻的基本粒子——电子——也是如此。当辐射的波长比它可能通过的孔径小得多时，衍射效应是微不足道的，这时辐射会完全以正常的方式通过它。这正是足球可以不受衍射影响改变方向而直接通过两个门柱之间的间隙射入球门的原因。只有当运动发生在原子和分子内部那样小的区域中时，粒子的波动性才具有重要意义，这时它对我们认识物质的内在结构起着决定性的作用。

关于这类微小的力学系统具有一套分立能态的一个最直接的证明，是弗兰克和赫兹 [5] 的实验提供的。他们在用带有不同能量的电子轰击原子时发现，只有当入射电子的能量达到某些分立值的时候，原子的能态才会发生明确的变化。如果电子的能量低于某一极限，在原子中就观察不到任何效应，因为这时每一个电子所携带的能量都不足以把原子从第一个量子态提高到第二个量子态。

因此，在发展量子论这个最初的准备阶段结束时所出现的局面，不能说是对古典物理学的基本概念和基本原理进行了修改、而只是用一些相当费解的量子条件对古典物理学施加了多少有点人为的限制，即从古典物理学中可以出现的无限多种连续的运动状态当中，只挑选出一套分立的“容许”状态。不过，要是我们更深入地研究古典力学定律同我们今天扩展了的经验所要求的这些量子条件之间的联系，我们就会发现，把这两者结合起来所得出的体系，在逻辑上是不能自圆其说的，并且，这些经验的量子限制会使古典力学所依据的各种基本概念变得毫无意义。事实上，在古典理论中，有关运动的基本概念是：任何一个运动粒子在任何一个指定的瞬时都在空间中占有确定的位置，并且同时又具有确定的速度，这个速度描述了粒子在轨道上的位置随时间而变化的情况。

位置、速度和轨道这些构成古典力学整个精致建筑的基本概念（像我们所有其他概念一样），是在观察我们周围现象的基础上形成的。因此，一旦我们的经验扩展到从前所没有揭露的新领域中去，我们就必须像对待空间和时间的古典概念那样，对这些概念进行重大的修改。

如果我问某一位听众，为什么他相信任何一个运动粒子在任何指定的瞬时都占有确定的位置，因而能够随着时间的推移而描绘出一条确定的曲线（即所谓轨道），那么，他大概会回答说：“这是因为当我观察运动时，我看到它就是这样的。”好，现在就让我们来分析分析这种形成古典轨道概念的方法，看看它是不是真的会得出确定的结果。为了达到这个目的，我们可以设想有一个物理学家，他拥有各种最灵敏的仪器，现在他想追踪一个从他实验室墙上扔下的小物体的运动。他决定通过“看”这个物体怎样运动来进行这项观察。当然，要想看到运动物体，就必须有光照明它。由于他已经知道，光线总是会对物体产生一种压力，因而可能干扰它的运动，所以，他决定仅仅在进行观察的瞬间才使用短时间的闪光来照明。在第一组试验中，他只想观察轨道上的10个点，因此，他把闪光源选得这样微弱，以便使10次顺序照明中光压所产生的总效应不超过他所需要的精确度。这样，他在物体下落时让光源闪亮了10次，并且以他所希望的精确度得到了轨道上的10个点。

光可能干扰物体的运动

现在他想重复这个实验，这一次，他希望得到100个点。 他知道，如果还用上一次的照明强度， 那么，相继照明100次就会对物体的运动产生太大的干扰，因此，在准备进行第二组观察时，他把闪光强度降低为上一次的1/10。在进行第三组观察时，他希望得到1000个点，因而又把闪光强度降低到第一次的1/100。

他按照这种办法一直进行下去，并且不断降低照明的强度。这样，似乎他想得到轨道上的多少个点，便可以得到多少个点，而且可能误差永远不致增大到超过他开始时所选定的限度。这种高度理想化但在原理上似乎完全行得通的办法，是通过“观看运动物体”来建立运动轨道的一种严格合乎逻辑的方法。大家都知道，在古典物理学的框框里，这种方法是完全可行的。

现在我们来看看，如果我们引进前面所说的量子限制，并考虑到任何一种辐射的作用都只能通过光量子来转移这个事实，那么，会发生什么情形呢？我们已经看到，我们那个观察者一直在降低照明运动物体的光的数量，因此，现在我们应该预料到，他一旦把光的数量减少到只有一个量子，他就会马上发现他不可能再继续减少下去了。这时，要不是整个光量子都从运动物体上反射回来，就是根本没有任何东西反射回来；而在后一种情况下，观察是无法进行的。当然，我们知道，同光量子碰撞所产生的效应随着光波长的增大而减小，我们的观察者同样也知道这一点，所以，到这个时候，为了再增加观察次数，他肯定会采用波长比较大的光来照明，观察次数越多，他所用的波长也越长。可是，在这一方面，他又会碰到另一个困难。

大家都清楚地知道，在采用某一波长的光时，我们无法看到比这个波长更小的细节，要知道，谁也没有办法用油漆刷子去画波斯工笔画啊！因此，当所用的波长越来越大时，我们的观察者就不能准确地判断每一点的位置，并且他很快就会发现，他所判断的每一点都由于波长太大而变得同整个实验室一样大，结果，每一点都变得测不准了。于是，他最后不得不在观察点的数量和每一点的测不准性之间采取折衷的办法，这样一来，他就永远得不到像他的古典同行所得到的数学曲线那样精确的轨道了。他所得到的最好的结果将是一条相当宽的、模模糊糊的带，因此，如果他根据他的实验结果去建立他的轨道概念，这种概念就会同古典概念有相当大的差异。

上面所讨论的方法是光学方法。我们现在可以试试另一种可能的方法，即采用机械方法。为了达到这个目的，我们的实验者可以设计某种精致的机械装置，比方说在空间中安装一些弹簧，每条弹簧上有一个小铃，这样，当有物体从它们近旁经过的时候，它们就会把这个物体经过的路线显示出来。他可以把大量这样的铃散布在预料运动物体将要经过的空间中，这样，在物体经过以后，那些“响着的铃”就代表物体的径迹。在古典物理学中，人们想把这些铃做得多小多灵敏都可以，因此，在使用无限多个无限小的铃的极限情况下，同样也可以用任意大的精确度构成轨道的概念。但是，对机械系统施加量子限制，同样会破坏这种局面。如果铃太小了，那么，按照公式 (3) ，它们从运动物体取走的动量就会太大，即使物体只击中一个铃，它的运动状态也己大受干扰了。如果铃做得太大，那么，每一个位置的测不准性又会变得非常大，由此得到的最后轨道同样将是一条弥散的带。http://s8/mw690/006RZYeNzy7in0yPukfa7&690

每条弹簧上有个小铃

我怕，上面这一切关于观察者怎样观察轨道的讨论，可能会造成一种过于看重技术的印象，使大家倾向于认为，尽管我们的观察者无法靠他上面所用的办法把轨道确定下来，但如果用某种比较复杂的装置，大概就能得到他所需要的结果。不过，我应该提醒大家，我们在这里并不是讨论在某个物理实验室里进行的某个特定的实验，我们是把最普通的物理测量问题概念化了。要知道，我们这个世界上所存在的任何一种作用，要不是属于辐射作用，就必定是属于纯机械作用，就这一点而论，任何一种精心设计的测量方法都离不开以上两种方法的原理，因此，它们最后必将导致相同的结果。既然我们的理想的“测量仪器”可以概括整个物理世界，我们最后就不能不作出结论说，在量子规律起统治作用的世界里，像精确的位置或形状精确的轨道这样的东西，是根本不存在的。

我们再回头来讨论我们那个实验者，现在我们假定他想求出量子条件所强加的限制的数学表达式，我们已经看到，在上面所用的两种方法中，对位置的测定总是会对运动物体的速度产生干扰。在光学方法中，由于力学的动量守恒律，粒子受光量子撞击后，它的动量必定会产生一种测不准性，其大小同所用光量子的动量差不多。因此，我们可以运用公式 (3) ，把粒子动量的测不准性写成http://s13/mw690/006RZYeNzy7in0AAG0k9c&690

再想起粒子位置的测不准性取决于光量子的波长（Δq＝λ），我们便由此得出http://s4/mw690/006RZYeNzy7in0BJsIPf3&690

在机械方法中，运动粒子的动量由于被铃取走了一部分，也会变成测不准的。运用公式 (3) ，再回想起在这种场合下粒子位置的测不准性由铃的大小所决定（Δq≈l），我们又得到与前一种场合相同的最后公式 (5) 。可见，公式 (5) 是量子论的最基本的测不准关系式。这个公式是德国物理学家海森伯最先导出的，因而被称为海森伯 [6] 测不准关系式。它表明，位置测定得越准确，动量就变得越测不准，反之亦然。

我们再回想起动量是运动粒子的质量与速度的乘积，便可以写出http://s16/mw690/006RZYeNzy7in0CJXB59f&690

对于我们通常碰到的物体来说，这个量是小得荒谬可笑的。即使对于质量只有10 ^-7 克的较轻的尘埃粒子，不管是位置还是速度，也仍然可以精确地测定，精确度达到0．000 000 01%！但是，在电子（质量为10 ^-27 克）的场合下，ΔνΔq的乘积大约达到100。在原子内部，电子的速度至少应该确定在106米／秒的精确度范围内，不然，它就会从原子中逃出。这样一来，位置的测不准性就等于10 ^-10 米，也就是说，已经同整个原子一样大了。由于这种扩大，电子在原子中的“轨道”便弥散了，轨道的“厚度”变得等于轨道的“半径”。由此可见，这个电子将同时出现在原子核周围的每一点上。

在过去20分钟内，我已经尽力为大家描绘出我们批判古典运动概念所造成的灾难性后果。现在那些优美的。有严格定义的古典概念已变得支离破碎，让位给可以说像烂糊粥那样的东西了。自然，你们会问我：物理学家们打算怎样用这种处处存在测不准性的观点，去描述任何一种现象呢？

我们现在就来谈谈这个问题。很明显，既然我们由于位置和轨道都发生弥散，一般不能用数学上的点来定义物质粒子的位置，也不能用数学上的线来定义粒子的运动轨道，那么，我们就应该用别的描述方法来提供这种“稀粥”（可以这样称呼它）在空间不同点上的“密度”。从数学上说，这意味着需要采用连续函数（流体动力学中所用的那一种），而从物理学上说，这要求我们采用“这个物体大部分在这里，但有一部分在那里”或者“这枚硬币有75％在我口袋里，而有25％在你口袋里”这种所谓“出现密度”的说法。我知道，这样的句子会把你们吓一跳，不过，由于量子常数的值非常小，你们在日常生活中永远不会需要使用它们。可是，如果你想研究原子物理学，那么，我就要严肃地劝你首先使自己习惯于这种表达方式了。

在这里，我必须预先警告大家不要产生一种错误的想法，也就是不要错误地认为，这种描述“出现密度”的连续函数在我们普通三维空间中具有物理学上的现实意义。事实上，如果我们想描述两个粒子的行为，我们就必须回答当第一个粒子出现在某一点时第二个粒子出现在什么地方的问题。要想做到这一点，我们必须采用含有6个变量（2个粒子各有3个坐标）的函数，而这样的函数在三维空间中不可能是“定域”函数。当系统更复杂时，必须采用含有更多变量的函数。从这个意义上说，量子力学的“波函数”类似于古典力学中粒子系统的“势函数”，也类似于统计力学中系统的“熵函数”。它仅仅描述运动状态，并帮助我们预测任何一种特定的运动在指定条件下可能产生的结果。因此，只有在我们描述粒子的运动时，它对于我们所描述的粒子才暂时具有物理学上的现实性。

描述一个粒子或粒子系统出现在不同地点的可能性有多大的函数，需要有某种数学上的记法；按照奥地利物理学家薛定愕 [7] （他最先写出定义这种函数的性状的方程）的意见，这个函数一般用符号http://s6/mw690/006RZYeNzy7in0DLKzbf5&690

来表示。

我不想在这里讨论薛定愕基本方程的数学证明，但我希望大家注意一下导出这个方程的必要条件，这些条件当中最重要的。一个是非常离奇的是，它要求这个方程的形式必须使得描述物质粒子运动的函数能够显示出一切波动特性。

我们一旦推翻了古典概念，并用连续函数来描述运动，关于波动性质的要求就变得容易理解多了。这种要求只不过是说，我们的函数的传播并不类似于热通过一堵一面被加热的墙壁的传播，而类似于机械形变（声音）通过这种墙壁的传播。从数学上说，这要求我们所寻找的方程具有明确的、相当严格的形式。这个基本条件连同一个附加的要求——即要求我们的方程在用于可以不考虑量子效应的大质量粒子时，应该变成古典力学中的相应方程——实际上把寻找这个方程的问题，化成了一项纯数学的作业。

如果大家愿意知道这个方程的最后形式是什么样，我可以在这里把它写出来。这就是http://s10/mw690/006RZYeNzy7in0KdTwBf9&690

在这个方程中，函数U代表作用于粒子（质量为m）的力势，对于任何一种指定的力场分布，它都使运动问题有确定的解。利用这种“薛定愕波动方程”，物理学家们已经为原子世界所发生的一切现象，描绘出最完美而且最合乎逻辑的图景。

你们也许有人会觉得奇怪：为什么我没有使用人们在谈到量子论时常常提到的“矩阵”那个术语？我应该承认，我个人是不太喜欢这种矩阵的；因此，我宁愿不同它打交道。不过，为了使大家不至于完全不知道量子论中的这种数学工具，我想用几句话简单地谈谈它。正如大家已经看到的，人们总是用某种连续的波函数来描述粒子或复杂力学系统的运动。这种函数往往相当复杂，可以看做是由许多比较简单的振动（即所谓“本征函数”）组成的，就像一个复杂的声音可以看做是由许多个简单的谐音组成的那样。因此，我们可以通过给出各个分量的振幅，来描述复杂系统的整个运动；由于分量（泛音）的数量无限多，我们必须写出一个无限长的振幅表：http://s9/mw690/006RZYeNzy7in0Lkxra28&690

这样的表就称为与某一指定运动相对应的“矩阵”，它遵循某些比较简单的数学运算法则，因此，有些理论物理学家喜欢用这种矩阵来进行运算，而不用波函数本身。可见，这种“矩阵力学”——理论物理学家们常常这样称呼它——只不过是原来的“波动力学”在数学上的一个变种，由于我们办这些讲座的目的主要是想把原理讲明白，所以，我们就不必更深入地讨论这些数学方面的问题了。

很可惜，时间不允许我向大家介绍量子论在同相对论结合以后所取得的进一步发展。这种发展主要归功于英国物理学家狄拉克 [8] 的研究工作，它为我们带来了许多很有意义的东西，并导致了一些极其重要的实验发现。以后，我也许还能够回头来谈谈这些问题，但是，现在我应该结束我的演讲了。

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[1]	普朗克（Max Planck），1858~1947。他在热力学和统计物理学方面都有巨大的贡献，因而获得1918 年诺贝尔物理学奖。

[2]	康普顿（Arthur Compton），1892~1962，它除了发现这里所说的康普顿效应外，在研究光子、X 射线、γ 射线和宇宙线方面，也有相当贡献。他因此获得1927 年的诺贝尔物理学奖。

[3]	玻尔（Niels Bohr），1885~1962，量子论的创始者之一，他因这个新理论而获得1922 年的诺贝尔物理学奖。此外，他对原子结构理论也有一定贡献。

[4]	德布罗意（De Broglie），1892~ ，由于研究物质波而获得1929 年的诺贝尔物理学奖。

[5]	弗兰克（James Franck）和赫兹（Hertz），德国物理学家，他们由于研究原子与电子碰撞时的能量变化，而获得1925 年的诺贝尔物理学奖。

[6]	海森伯（Heisenberg），1901~1976，他由于发展量子力学的工作而获得1932 年的诺贝尔物理学奖。第二次世界大战以后，他负责指导原联邦德国的原子核研究工作。

[7]	薛定愕（Erwin Schrődinger），1887~1961，他由于对波动力学的研究而获得1933年的诺贝尔物理学奖。

[8]	狄拉克（P. A. M. Dirac），生于1902 年，他由于基本粒子方面的工作而获得1933年的诺贝尔物理学奖。