落实数学核心素养“数学抽象”的实践教学案例

课题：人教版九年级上册 ---实际问题与一元二次方程

                                   宫晓军

  如何将数学核心素养在我们的教学过程中得以落实，如何将数学核心知识教学与数学核心素养教学联系起来？其实这两个概念并不矛盾，或者说是两者是相辅相成的，落实核心素养就是为了让学生更好的掌握和应用数学核心知识。下面就以课题“实际问题与一元二次方程”为例探讨“数学抽象”素养的落实问题。

 

    教学内容

    建立一元二次方程的数学模型，解决如何全面地比较几个对象的变化状况．

    教学目标

掌握建立数学模型以解决如何全面地比较几个对象的变化状况的问题．

复习一种对象变化状况的解题过程，引入两种或两种以上对象的变化状况的解题方法．

通过实例来培养学生抽象能力的形成过程。

    重难点关键

    1．重点：如何全面地比较几个对象的变化状况．

2．难点与关键：如何通过实例来培养学生抽象能力的形成过程。

               如何通过实例进行推理建立法则、模型。

    一、复习引入

1 回顾一元二次方程的解法

2回顾一元一次方程的实际应用中的步骤

第一步：弄清题意和题目中的已知数、未知数，用字母表示题目中的一个未知数；

第二步：找出能够表示应用题全部含义的相等关系；

第三步：根据这些相等关系列出需要的代数式（简称关系式）从而列出方程

第四步：解这个方程，求出未知数的值

第五步：在检查求得的答数是否符合应用题的实际意义后，写出答案（及单位名称）。

二、探索新知

例1：某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低0.1元，那么商场平均每天可多售出100张，（商场要想平均每天盈利120元，每张贺年卡应降价多少元?）

创新思路1:先不给学生出示问题，让学生独立思考，根据已知的条件可以得到什么并想想问题可能会怎么问，最后总结学生们的结论！

   设计意图：首先让孩子学会阅读已知，掌握由已知得可知的能力；其次通过孩子对问题的思考，可以让孩子的思维更深一层，如果能提出问题，就一定会想如何解决问题。

甲：降价0.1元，可以卖出500+100=600张

乙：降价0.2元，可以卖出500+200=700张

丙：降价0.3元，可以卖出500+300=800张

丁：降价0.4元，可以卖出500+400=900张

降价0.5元，可以卖出500+500=1000张

降价0.6元，可以卖出500+600=1100张

创新思路2:给孩子提出的问题是多个问题一步一步引出，而不是一次性给出多个问题。

设计意图：思维能力的培养本身就是一个由浅入深的过程，抽象能力的形成我更偏向于自然生成，而不是一味的引导，填鸭式;抽象能力的培养需要以实例为载体而不是空洞的理论，那么具体的降价数据就是一个一个很好的实例，最后再完成从实物层面到符号层面的抽象。

老师提问1：如果降价x元，可以卖出多少张呢？能不能用一个式子来表示？

(讨论后集体回答）降价 x元，可以卖出500+http://s15/mw690/006RBe2jzy7n9BhMorQce&690

老师提问2：如果降价0.1、0.2、0.3、0.4、0.5.。。。。。x元，可以获利多少呢？

孩子们很快列出了式子，同样也发现了X取值的问题。

创新思路3：随着孩子们自主探究的进行出现的问题会越来越多，先不要急于纠正，给孩子一点自查的时间，最后再做以总结。

设计意图：我始终相信“道理永远是讲给别人听的”，不要孩子们去经历去思考，他们对知识的理解永远会处于表层。我们要记住孩子才是学习的主体，我们只是一个引导者，千万不要去主导。不要让你的思维习惯去影响孩子们的思考，我们的课堂需要不同的声音。我们要的是课堂上孩子们实质性的进步，而不是形式上的跨越。

    老师点评：总利润=每件平均利润×总件数．设每张贺年卡应降价x元，则每件平均利润应是（0.3-x）元，总件数应是（500+http://s12/mw690/006RBe2jzy7n9BrSsl5ab&690×100）

    解：设每张贺年卡应降价x元

    则（0.3-x）（500+http://s3/mw690/006RBe2jzy7n9Bw9HRo72&690）=120    

    解得：x=0.1

    答：每张贺年卡降价0.1元．

三、巩固练习

    刚才，我们分析了一种贺年卡原来平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，为了减少库存降价销售，并知每降价0.1元，便可多售出100元，为了达到某个目的，每张贺年卡应降价多少元?如果本题中有两种贺年卡或者两种其它东西，量与量之间又有怎样的关系呢?

   例2  新华商场销售甲、乙两种冰箱，甲种冰箱每台进货价为2500元，市场调研表明：当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台．乙种冰箱每台进货价为2000元，市场调研表明：当销售价为2500元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降低45元时，平均每天就能多售出4台，商场要想使这两种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，那么两种冰箱的定价应各是多少?

设计意图：通过例1的学习孩子对本类应用题型有了一个大概的了解，通过本道题目的设置，首先规范孩子们的思维习惯，其次对本题目进行深层次的挖掘。

    四、应用拓展

    例3．某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若每千克50元销售，一个月能售出500kg，销售单价每涨1元，月销售量就减少10kg，针对这种水产品情况，请解答以下问题：

    （1）当销售单价定为每千克55元时，计算销售量和月销售利润．

    （2）设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x的关系式．

    （3）商品想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应为多少?

    分析：（1）销售单价定为55元，比原来的销售价50元提高5元，因此，销售量就减少5×10kg．

    （2）销售利润y=（销售单价x-销售成本40）×销售量[500-10（x-50）]

    （3）月销售成本不超过10000元，那么销售量就不超过http://s8/mw690/006RBe2jzy7n9B9XmxV67&690=250kg，在这个提前下，求月销售利润达到8000元，销售单价应为多少．

    解：（1）销售量：500-5×10=450（kg）；销售利润：450×（55-40）=450×15=6750元

    （2）y=（x-40）[500-10（x-50）]=-10x²+1400x-40000

    （3）由于水产品不超过10000÷40=250kg，定价为x元，则（x-400）[500-10（x-50）]=8000

    解得：x₁=80，x₂=60

    当x₁=80时，进货500-10（80-50）=200kg<250kg，满足题意．

当x₂=60时，进货500-10（60-50）=400kg>250kg，（舍去）．

设计意图：本道题目的设置想达到对本节课程总结的目的，首先让孩子明白面对做题时已知是关键，其次让孩子掌握在解决问题是从具体实例抽象出最终模型的过程，最后让孩子们注意做题时的步骤及可能存在的问题。

    五、归纳小结

    本节课应掌握：

    建立多种一元二次方程的数学建模以解决如何全面地比较几个对象的变化状况的问题．

    六、布置作业

1．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元。为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当的降价措施。经调查发现，在一定范围内，衬衫的单价每降一元，商场平均每天可多售出2件。如果商场通过销售这批衬衫每天要盈利1200元，衬衫的单价应降多少元？

2、某种服装，平均每天可销售20件，每件盈利44元;若每件降价1元，则每天可多售5件。如果每天要盈利1600元，每件应降价多少元？

3、某商店将进价为8元的商品按每件10元售出，每天可售出200件，现在采取提高商品售价减少销售量的办法增加利润，如果这种商品每件的销售价每提高0.5元其销售量就减少10件，问应将每件售价定为多少元时，才能使每天利润为640元？

设计意图：我不否认数学一定要多练，但我在教学中从来不这样做，我更偏向于精炼，我让孩子们做练习的前提是在孩子掌握了基础知识的前提下进行练习，这样练习目的有两个，其一为了巩固知识、其二为了拓展孩子对题型的认知。