《比的认识》解读与思考

                   节选《小学教学设计》

【教学 内 容 】：人教 版 六 年 级上册第 四 单元。

  [教学思 考 ]：修 订版 教 材 把“ 比” 单 独 设立 为一 个单元，不再停 留 于 比与分数和除法的关系上、仅从运算的角度去理解比，  而是强调从量与量之间的关系上认识比。由此，概念描述从“两个数相除又叫做两个数的比”修改为“两个数的比表示两个数相除”。这充分说明“两个数相除”与“两个数的比”不是等价概念。比不是除法的另一种表示方式，而有自身的特点、意义和价值一比更加强调量与量之间“倍比关系”的直接描述; 比可以用除法计算求出比值,但有时不需关注具体比值是多少; 比可以同时表示两个、三个乃至更多量之间的倍比关系;比源于度量，比能表示物体不可度量属性的可比性，如“颜色、形状、口感”等。

  思考一: 为什么有了除法还要学习比? 比与除法的本质区别是什么?

1.比由“倍数关系”导入，

需要借助除法之势，除法更加趋向运算的形式和结果，比则更加强调量与量之间倍数关系

的直接描述。

2.除法或分数只能表示两个量之间的倍比关系，比能同时表示两个、三个乃至更多量之间的倍比关系。

3.比可以转换为两个数相除，但两个数相除不能笼统说就是两个数的比,如“等分除就是一个量进行等分。

4.比的本质与除法不同。比源于度量，长度、面积、体积、

质量等常见的量，都是物体可度量的属性。度量包含“度和量”，度是度量单位，量是测量，表示度量结果的数，叫做量数。事实上,量数就是“量与度量单位(两个同类量)的比值。物体除了可度量的属性，还有不可度量的属性，如颜色、形状、质地、口感等，这些属性不可度量，但是可以用“比”来进行表征。用比来记录这些量与量之间的”对等关系”,能够更加直观清晰地表示出这些不可度量的属性。
  思考二: 为什么异类量的比一直用“路程和时间的 比是速度”这一素材? 这个例子作为例2 教学有什么用? 有没有其他可以替代的素材?

  经查找文献发现，自1923年教材中出现“比”内容教学，都是“同类量”比,直至1981年对“比”进行补充时，由“倍数关系”扩展为“相除关系”时，教材中引人“速度”素材作为异类量比的代表,原因有以下三点:

  1.路程、时间和速度是学

生熟悉的、比较典型的用“除法”计算的数量关系;路程和时间是两个不同单位的量，由于需求产生速度这一计算的结果。它既能表示这两个量之间的除法关系，也能表示两个不

同类量的比。

  2.速度是“路程和时间”比的量化结果， 是路程和时间两个量衍生出的一个新的量;但由于这个新的量还可以理解为“后项为1”的比，因此用复合单位来记录,如50 米1分。

  3. 生 活 中 除了 常 见 的“ 速度”“单价”之外,还有非常丰富的“异类量比”的资源。如密度、含量、交换关系、组合方式等，当要 记录某种有 意义 的量与 量之间的对等关系时，都可以用“比”的方式表示和记录。因此台湾教材自1982 年起,就把比定义为“并置的两个量的对等关系”。

 (教学目标

  1.经历从具体情境中抽象出 比 的 过程， 理解 比 的 意义， 在辨析比较中感受比的丰富内涵。正确地读写比、知道各部分的名称、比与除法的关系，会求比值。

  2.实践中探究图形形状，观察比较中理解并体会比的含义和价值; 初步感 知比能 描 述量与量之间的不可度量物质属性的可比性。

  3.能从同类量和异类量中找出量与量之间的对等关系，并用比表示。

  4.学生经历用比描述生活中的现象和解决实际问题的过程，感受比在日常生活中的应用价值。

  (教学重难点)

  重点: 多方位构建比的意义。

  难点:理解比的自身意义和价值。

  (教学设计与解读)

  课前谈话:呈现各照片，在观察交流中达成共识: 相似图形一用“形状完全相同”的语言来描述。

  一、操作体验，初步感知比的含义

   1.呈现部分国家的国旗,引导学生观察发现: 各国国旗大小不同，但长方形的形状完全相同。进一步追问:国旗的形状与什么有关? 与长和宽有怎样的密切联系?

  2.  给 出一 面 长  15cm、宽10cm 的国旗图形,学生自主尝试，  在格子图中画出两个与国旗形状完全一样的长方形。思考: 依据什么确定图形的长和宽? 每个长方形的长和宽之间有什么关系?

  3.呈现学生的画法，反馈汇报,交流思考过程。

  预设情况如下:

  想法一:  根据给定国旗的长和宽，将其同时扩大或缩小相同的倍数画出长方形。

  生: 把长和宽同时缩小五倍， 长是3cm. 宽2em。然后再把长和宽同时扩大两倍，就变成长6cm,宽4em 的长方形。这样两个长方形形状与给出的国旗一样。

  弓 |导 :两个长 方形中长和长是倍数关系，宽和宽也是同样的倍数关系。

  想法二: 根据给定国旗的长方形长是宽的1.5 倍,画出同样倍数关系的长方形。如长12cm,宽8cm; 长6cm,宽4cm等。

  引导交流: 这是依据长和宽的什么关系确定形状?

  搜集其他学生的同类作品，进一步丰富素材内容:长9cm,宽6cm ;长30cm,宽20cm等。同时星现各图示，学生再次观察发现共性。

  想法三: 根据长和宽相差“5”,画出具有同样相差关系的长方形。

  思考:长14cm,宽9cm的方形看似 图形形状与 给定 国相似，那么当相差关系还是长方形变成长9cm,宽4cm图形形状还完全一样吗 ?如果长6cm,宽1cm 呢?通过举极端例子呈现“相差关系”的长方形,发现长宽数变化，形状发生改变。

4.全班交流。

  师: 长和宽的倍数关系与相差关系，哪种关系能够确定图形的形状?

  (1)学生观察发现: 多个依据“倍数关 系” 画 的 长 方 形， 尽管大小不同,形状完全相同。

  (2)几何画板动态演示:将长 方 形 的长 和 宽 数 据 不 断 变化,倍数保持不变，观察形状，进一步验证。

  5.师生共同交流，得出结论: 长方形的形状由长和宽的倍数关系确定。倍数关系相同时，长方形的形状也相同。因此国旗的设计中，只要保持“长是宽的1.5 倍”，各种规格形状都是完全相同的。
  (解读:以学生常见的不同规格国旗为素材，观察中发现:国旗大小不同，而形状完全相同,从而激发学生的探究欲望:这背后隐藏怎样的数学奥秘，图形的形状与长和宽有怎样的联系?接着让学生动手画图，“任务驱动”会使得学生自主寻找和建构长与宽的关系; 不同形状的呈现,在反馈交流中,学生通过辨析自主发现长和宽的倍数关系，初步体验量与量的倍数关系确定图形的形状。
  二、认识比，初步体验用比记录的优越性
  1.看倍数关系想象图形形状，引出长宽比的记录方式。
  师:当长是宽的1.5 倍(2/3) 时,你脑中想象的图形形状是怎样的?

学生描述:长1.5、宽1;长3,宽2;长15,宽10等等。

教师给出:我们可以用长和宽的比来记录这种倍 数 关系。如:长是15,宽是10,长是宽的15/10我们就说长和宽的比是“15 :10”;反过来宽和长的比就是10: 15。2.微视频播放,认识比。什么是比? 微视频播放:比表示什么，比各部分的名称，比的读写及比值等。

3.反馈交流:通过视频,你了解“比”的哪些知识? 学生反馈，教师板书记录相关知识点。

4.思考并讨论:除法中的倍数关系能表示图形的形状，为什 么 还要认识“ 比” ?
  学生自由发表看法，进一步用图示例子强化要点。
  (1)呈现“长是宽的3.5 倍，学生闭眼想象形状，用手势比划,交流想法。
  (2) 呈现“长和宽的比是7 :2,学生闭眼想象形状，用手势比划，说想法。
  交流:哪种方式联想图形的形状会更加的容易?(7 :2 能马上联想长7 宽2,不用再举例计算)
  小结:长方形长和宽的倍数关 系 能确定 形状; 用 比 的形式 能 更直接描述 图形 的形状。
  (3) 呈现各长方形的长宽比,学生根据“比”选择相对应的形状。

http://s12/small/006zcm1Rzy7jV71WoMH4b&690

  [解读 :长 和 宽 的 倍数 关 系用比表示，是比引出的常态形式 ;而 通 过“ 倍 数 关 系” 与“ 比 的形式”联想图形的对比，能够让学生更加直接体验比的优越性，同时跟进的选择练习让“数形结合”更加密切，体验更加深刻。至于比的相关知识,尽管是基础,但由于都是规定性知识，教材 内 容 以 讲授 为 主，通过微课展播 能 够快 速 帮 助 学 生 理 清知识点。  而 且微课 可 以 课后 反复播放，有助于学生后续不断的复习巩固，促进学生掌握。]

三、 拓展比的功能，进一步体验比的价值
  1.举例:你在哪里见到过
比?学生举例说明。
  预设:(1)解释球赛的比分，辨析“比分”与数学中“比”的不同。(2)呈现金龙鱼油1: 1: 1的相关信息，介绍脂肪酸的含量比。
  2.生活中只有这两个例子吗? 下面这些情境中就有“比”，找一找并说一说。同时呈现三幅生活情境图: 图O课桌椅的组合,图2蜂蜜水，图3车辆行驶速度。学生解读情境图中的“比”。
  【解读:尽管比在生活中应用广泛，但通过前测发现符合学生现实背景的 就是“球赛比分”和“金龙鱼广告”。通过举例方式，唤醒学生的生活经验，通过辨析阐明“比分”不同于“比”的理由，以反例强化数学中比的含义。广告中的“1:1:1”信息呈现进一步拓宽比的意义，可以表示两个以上量与量之间的关系。给出生活中的情境图，激活学生思维，进一步扩大探索空间，将比的功能进一步拓展。】
  3.教师根据学生的发言，逐一呈现更加具体的数据信息，进一步了解生活中的“比”
  图 Q课桌 椅 的组合。学生通过观察发现:一张桌子配两张椅子，桌椅的数量比是1: 2,教师课件呈现生活中各种物品的组合，介绍组合关系中的“比”，延伸到“交换关系中的
比”，学生仅作了解。
  

图2蜂蜜水的配制。信息:将10ml 的蜂蜜加入90ml 的水中。这里面有比吗?请结合蜂蜜和水 的量说一说。

(1)根据学生说法,逐一是现两个量之间的“比”:蜂蜜和水量的比是10: 90 (1: 9);水和蜂蜜的比是90: 10 ;蜂蜜和蜂蜜水的比是10: 100;蜂蜜水和蜂蜜的比是100 :10等。

(2)拓展:呈现各类溶液中的比,学生选择其中一幅图,同桌交流“比”的含义。反馈时的关键点:  两个量的单位可以不同; 可以是四个量甚至更多量的比。

图车辆行驶速度。速度是“比”吗，比的前项和后项分别是什么? 为什么速度单位与众不同? (路程和时间比产生的新的量) 类似的比产生“新的量”例子有哪些? (单价是总价和数量的比,产生新的量)

小结: 同类量的比与异类 量的 比。

[解读:比在生活中应用广泛， 饮料、 食物 的 配 比， 可 以 直接以比的方式来记录，能够更加直接表示出量与量之间的具体含量;而速度、单价等衍生出的新量，尽管与除法有一定的联系，但是通过其复合单位能够 直观反 映 出 量 化 的 结 果。将量与量的比由倍数关系的同类量拓展到相除关系、对应关系的异类量中，学生逐步体会比的价值,触摸比的本质内涵。]

  四、 课 堂总 结

  1.课件动态演示课堂学习过程,学生回顾梳理。

  2.交流:  对比有了哪些认识? 用“比”表示有什么好处?