学《三角形》就是学关系

北师大2024版7年级下册第4章的《三角形》，经整合之后只保留了4个单元：“认识三角形”，即三角形的三条边、三个角的性质，以及三角形中的三条重要线段；“全等三角形”，即三角形之间形状与大小的关系问题；“探索三角形全等的条件”，即四种典型的判别三角形全等方法的认识、进行比较简单的说理；“利用三角形全等测距离”，即运用全等三角形的性质，解决有关三角形对应边的问题。以最简单的多边形入手，或者内部元素的问题或者若干三角形之间的形状大小位置的关系 ，为直线型图形摸索出具有研究体系和研究方法和研究价值的“道”来。

我们生活在一个高度互联的世界里。三角形，生活世界的元素抽象而来。生活世界是相互联系的，三角形的世界也是相互联系的。“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，用联系的观点把握，三角形才能立体地扎根在学生心目中：有与生活的联系、有与简单几何元素的联系、有与复杂图形的联系、有与数学其他领域的联系、也有与其他学科的关系。

立足联系，重视学习内容的延展、把握学习的本质、强化思维导图的构建，三角形的学习才能单薄走向丰满，学习的视野才能有狭窄走向宽阔，思维的层次才能由浅显走向深入。学习需要三境界，看山就是山“看三角形就是三角形”、看山不是山“看三角形不止于三角形”、看山还是山“看三角形还是三角形”，以抽象、推理、表达为基准的核心素养就是这样逐渐养成的。

1.重视适度延展，在立体网络中把握学习内容。盲人摸象的闹剧，在于感受的单一，大象是现实的、感觉却是片面的，因而获得的所谓认知都是支离破碎的。作为最基本的直线型图形，渐进式“触摸”才是最好的学习方式。不妨以“全等三角形的认识”展开说明：展示身边常见的平面图形，“国旗上的4个小五角星”、“同一张底片写出来的小一寸照片”、“A4纸”、“规格完全相同的水杯的俯视图形”等等，体会“完全一样”的含义，这是全等图形和生活的联系；寻找与制造完全一样的三角形：“商场销售的规格相同的三角板”，“裁剪完全相同的三角纸片”、“折出完全相同的三角形”，体会“三角形形状大小完全一样”的含义，建立全等三角形与动手实践的联系；欣赏三角形变换，“折叠变换”、“平移变换”和“旋转变换”，进一步体会“完全重合”的含义，建立钢体变换与三角形全等的关系，初步感受对应元素的对应；给出三角形全等的概念，“完全重合急形状一样、大小相同”或者干脆说成“对应边相等、对应角相等”，感受学术层面的数学和教育层面的数学的联系，建立健全三角形全等的认知体系。“润物方能细无声”，从不同角度去丰富，从不同角度去磨合，全等三角形的印记方能从平面走向立体。全等单元需要立体展开，其他单元同样需要适度延展，进而在不断抽象、不断数学化的过程中激发学习兴趣、全面提升学生的学习关注度。

2.深入学习内核，把握学习本质。正如游褒禅山，“入之愈深，其进愈难，而其见愈奇”，深入与见识是呈正相关的。三角形的学习也是如此。倘若只满足于表面上的小打小闹，三角形的学习，也就只能止于浮表的满足了。站位高一点，俯视现有内容，三角形才能获得应有的地位。确认核心位置，以三角形为“奠基”，多边形的学习方能有“芯”。比如研究多边形的内角和，是把多边形分割成若干个三角形来展开的，即多边形可以转化为若干个三角形的内角和之和，三角形于是乎就作为了研究多边形的根基；还原本质，赋予认知的本来面目。以“三角形全等”为例，三角形全等，即对应边相等、对应角相等，今后哪怕脱离了三角形的范畴进入了四边形或者圆的层面，全等仍然是解决边等、角等的重要工具，于是乎，三角形在问题解决中就占有了重要的一席之地；动手动脑相结合，还原三角形的学习典范地位。三角形的学习是几何课学习的范本，学好了三角形，几何其他内容学习就有了方向和参照。纵观三角形一章，从“三角形的认知”到“三角形的性质”再到“三角形的应用”一气呵成、珠联璧合，简直就是学习四边形乃至相似图形的前奏。学好三角形就有了几何课学习的样本，“一章在手，全局无忧”，于是乎，三角形学习的“道”成为了“大道”；学以致用，来源于生活、高于生活、作用于生活，三角形成为了增强应用意识的有利途径。不说三角形中的三条重要线段为面积领域的深入研究奠定了基础，不说三角形全等为生活中的测量问题提供了指导，单说“三角形的稳定性”就足能看作生活世界的一枝花，有用的知识方有价值，于是乎，“应用和创新”成为了三角形学习最耀眼的标志。因为在错综复杂的关系中居于核心位置，因为在生活中具有广泛展机会，因为对学习具有推动力量，所以三角形的力量和本质体现的淋漓尽致，而有用又促成了三角形位置的显著。

3.实施导图工程，以可视化的架构引领思维的深入。思维导图不仅适用于问题解决的过程梳理，同样适用于单元或者课时的学习建构。透过思维导图，所学内容的纵横联系、拓展延伸、在大视野中的位置，都变得一目了然了。以“三角形中的三条重要线段”为例：它们的源头，都指向了几何基本元素，三角形的角平分线不过平分各内角的线段而已，三角形的高不过是由顶点到对边或者对边的延长线的垂线段而已，三角形的中线，不过顶点和对边中点的连线而已，饮水要思源，三角形的三条重要线段更要随时与它们的源头相对照：三条重要线段，都可以画、可以折纸得到，抽象形象在此实现了统一，抽象思维与形象思维也实现了统一；三条重要线段，一般上来讲是不同的三条线段，但特殊情况下（等边三角形）却能够合三为一；重要线段，各自都交于一点（或者延长线交于一点）；一条角平分线、一条中线或者一条高线，当三角形分割成的两个三角形的面积都具有某种关系；角平分线、中线、高线，锐角三角形的重要线段都在三角形的内部，而直角三角形的高线和钝角三角形的高线则出现了例外；伴随着三角形形状的特殊，三条线段也能够使位置特殊起来就如“等腰三角形顶角的平分线会和底边垂直”；重要线段是研究三角形乃至多边形和圆的重要工具。绘制思维导图常态化，作为学习的必要流程来对待，学习才能置于普遍联系里，学习认知才能有点状走向网状。

教育学就是关系学，忽视了关系就等于忽视了教育，融洽的关系意味着温暖的教育。学数学更要重视关系。僵化地看待数学，只能被视为散乱的珍珠。串起来，连起来，孤立的经验认知才能才能链成精美的项链。不断拷问知识点，挖掘出相似的知识点和相关联的知识点，挖掘出相似的观点和相关联的思考，学习的过程才能成为纵横百阖的过程。学三角形需要找关系，学函数、学概率同样需要找关系，短时间的效果未必显著，但时间拉长了，你注定会发现一个让你惊讶的数学世界……