思考波澜之妙

—— 一道七年级数学期中考试压轴题的解读

七年级数学第一学期，衔接阶段。无论抽象程度还是学习方式以及要求，初中和小学的学习差别问题成了不可回避的课题。学期之中，教和学能否适应这一改变，教师关注、家长关注、学生也关注。全面把握学和教，反馈调整成为了符合规律的必选项。

立足全面考察，为了摸准学生学习的真实情况，高碑店市2024年七年级第一学期期中数学试卷写出了浓墨重彩的一笔。尤其是作为压轴的25题，更是让人“三月不知肉味”。

一.试题回放

在数轴上点A表示数a,点B表示数b,点C表示数c,已知a+4=0， b是最大的负整数,c是多项式4x²y-2y²的次数.

（1）a=        ，b=            ，c=              ；

（2）点A、B、C同时在数轴上移动，A以每秒3个单位长度的速度向右移动，点B以每秒2个单位的长度向左运动，点C以每秒2个单位的速度向右移动，移动t(t<7)秒后点A和点B的距离表示为AB,点A和点C的距离表示为AC,点B和点C的距离表示为BC.

经过t秒后，点B表示的数为     ,点C表示的数为      ,BC=       .(用含t的式子表示)

当t>1时，嘉嘉说AB-BC+AC的值与t无关，请你验证嘉嘉的说法是否正确.

二.试题解读

1.压轴之妙，妙在铺垫。原本就心存畏惧，倘若再板着面孔，对学生来讲，无异于雪上加霜的。这次期中考试的压轴题，不仅有铺垫，而且铺垫的很厚重。一是数轴做背景。有理数的学习，数轴既是熟悉背景又是有力工具。数的大小比较、相反数绝对值、加减法，每个小单元的线索，数轴如影随形。背景熟悉了，紧张的心会得到稍稍放松，这有利于思考的稳步进行；二是温和的开场。相反数的概念、正负数的概念、多项式的次数，都属于基础。基础牢固了，无论是数的运算还是式的运算才会显得顺畅。用熟悉的概念和小计算作为开场白，既点明了基础的重要性又营造了温馨的活动氛围；三是简明扼要。叙述简洁，直奔主题。不设置人为障碍，符合了七年级学生的阅读水平，命题科学保障了思维的良好开端。一年之计在于春，考察的胜败决定于铺垫。“随风潜入夜，润物细无声”，温和、和煦、自然，处处重视了铺垫的设计。“迎难而上”虽好，领路更好。

2.压轴之妙，妙在凸显本质。数轴是学习有理数的重要工具。用点表示数、用数描述位置，相辅相成的两个角度成就了学习的不断深刻。其一，正方向是区别数轴与普通直线的特征之一。数轴的正方向朝右，也就是说右边的点表示数永远大于左边的点表示的数。问题中出现了三个运动的点，点A、点C向右运动，点B向左运动，起点分别是，－4、+3和－1，即两个点表示的数字要变大的，后一个点所表示的数字要是变小的；其二，表示一维空间上点的位置是数轴的价值所在。点A，由-4开始，每秒向右移动t个单位，新的A点所表示的数是-4+3t.同理，新的B点和C点分别表示-1-2t、3+2t.两个点之间线段的长度，也可以由对应的两个数（即坐标）来表示，比如BC=（3+2t）-（-1-2t）.数与形相结合，生动而准确，点的坐标、线段的大小与所对应的位置就都有了依靠；其三，回归用数学的方式思考。数学活动，是由已知到未知的探索。几何需要说理，代数也需要推理。代数推理，简而言之，代数层面的步步推导。问题要求，“AB-BC+AC”是定值，也就是要把三条线段对应的代数式进行加减运算。最终结果为0，当然和t没有关系。数学是思维的体操。运算也是有规则的，规则就代表着条理。不搞旁门左道，处处体现学习本质，把重点的内容置于考察的前沿，试题俨然下了一步大棋。“半开半遮”虽好，直截了当也不错。

3.压轴之妙，妙在跃升。文似看山不喜平，起伏才会为文字添色。三十四五度的温水，缺少刻骨铭心的热与冷，是断断不会留下印记的。学数学就是学思维的，思维之美才是问题解决之美。其一，三个动点打造了问题的复杂。起点不同，方向不同，速度不同，数轴上呈现了奔腾的画面。阅读、想象，画图，将图景落在实处，运动方能化作静止；其二，辩证化作了问题的深刻。点的运动，有同向反向之分，有速度大小之别，相遇和追及构成了动态场景。比如点A和点C，虽然方向一样，但由于速度和起点不同，就存在着追的之前、之时、之后三个场景。全面考察运动，思考才能全面细致；其三，运动位置的调整是解决问题的突破口。起初，点A在左，点B居中，点C靠右。随着时间的变化，三个点的位置不够也是变化的。根据问题需要以及七年级学生的思维特点，条件做出了调整，“时间t之间t在1和7之间”，不难发现三个点的位置由左到右成了B、A、C.位置特征成为了问题解决的关键要素。一波未平，一波又起，此起彼伏，波浪式的思考塑造了研究的美。思维的“风平浪静”虽好，腾挪跌宕更引人入胜。

三.问题解决

（1）因为a+4=0，所以a与4互为相反数，即a=-4.b是最大的负整数，观察数轴上原点左边最近的整点，不难得到b=- 1.由多项式次数的概念，“最高次项的次数”，可以得到c=3.

（2）新的B点比-1小2t,所以坐标是-1-2t.新的C点比3多2t，所以坐标是3+2t.C点永远在B的右边，于是线段BC=（3+2t）-（-1-2t）=4+4t.

（3）因为t<7，所以点c在点a的右边，AC=（3+2t）-（-4+3t）=7-t.因为t＞1，所以点A在点B的右边，AB=（-4+3t）-（-1-2t）=-3+5t.因此，将三个代数式代入，可以得到AB-BC+AC=（-3+5t）-（4+4t）+（7-t）=0.观察结果，嘉嘉所说的很有道理，因为与t没有任何关系。

四.教学思考

1.抓基础是教学永恒的主题。不管四基四能，把新课标放在一边，也不管核心素养，如果没有基础做保障，余下的一切都会是零。概念、计算，作为基础的基础，过关的是教学的硬指标。可以小组互助学习，可以个别点评作业，但扎扎实实、一步一个脚印地去抓，必须常年如一日才行。以课本练习为蓝本，以基础知识和基本技能为标准，突出课堂反馈、突出课堂作业的力量，我们的教学方能有根。

2.把信息处理能力作为教学的重点。数学也需要阅读，需要收集信息，梳理信息，处理信息、做出决策。发挥红水笔的醒目作用，发挥不同标记的提示作用，发挥习题课的引领作用，发挥典型问题的示范作用，贯彻波利亚的解题教学“四步法”，为学生信息处理能力的提高把脉导航。

3.将综合题的分解视为基本功。综合题目可以看成基本问题的组合。所谓难度，不是每一个细节都难，也不是每一个环节都难。把综合性问题，分解成细小的问题，化作源于课本的问题，数学才能走下神坛。教师分解，鼓励学生也能分解，复杂的化成简单的、综合的化作基本的，解决难度也就随之降低了。

恨铁不成钢，我们的通病。然而，钢有钢的优点，铁有铁的优点。学数学有也是如此，思维有擅长抽象的，也有敏于形象的。敢于预留充足时间，让学生充分地去阅读、去分析、去完成、去反思、去总结，坚持、坚持再坚持，压轴题也能走进多数孩子们的心中。