解方程教学：“活”才能“火”

方程单元的教学，无非3点：方程的概念、方程的解法、方程的应用。解方程承上而启下，是概念的延伸，是应用的铺垫。学好解方程，概念的把握无疑会更加深刻，概念的运用无疑会获得个强有力的工具。

解一元二次方程的教学要求：配方法属于理解并掌握，公式法和因式分解法要达到掌握层次。所谓理解，“要能够描述配方法的由来、内涵和特征，要能阐述配方法和完全平方公式、平方根的内在联系”；所谓掌握，“要能够多角度理解与表征3大解法的本质特征，要能把解法用于新的情景。”理解和掌握，都是较高层次的目标。

集体调研的方案：解方程的因素单纯一些，舍弃不必要的情景和应用；配方法、公式法、因式分解法依次展开；加大练习的比重，即“精讲多练”。“集中精力干大事”，学生会更关注，效果才会有保障。

韩庆河主任自告奋勇做示范《因式分解法解方程》：阅读教材“x²=3x的多种解法”，有直接消掉未知数x进而得到一元一次方程x-3=0的，有用配方法的，有用公式法的，还有借助移项x²-3x=0进而进行因式分解变形x（x-3）=0的，点评3种解法的优劣，总结出因式分解法解方程的要求和特征；典型例题讲解“解方程5x²=4x、x（2x-7）=3（2x-7）、（x-2）²=3x-6、（2x+3）（x-7）=（4-2x）（7-x）”，提供解答模板以及注意事项；练习，教材47页“习题用因式分解法解第1题”；练习，教材48页“习题用适当方法解第2题”。课堂除了枯燥就是压抑，学生的感觉很可能甚于听课教师的，因为长期在如此常态下生活肯定憋屈。

“仁者乐山，智者乐水。” 水是灵动的。思考需要灵动。枯燥压抑只能是四维火花的摧残。数学素以严谨抽象著称， 严谨抽象指的是学科本身。教学需要把学术形态向教育形态转变，“鲜活、灵动、易于接受”才是准则。解方程就是运算，相对枯燥是肯定的，重点在于注入鲜活元素，让枯燥的课堂活起来火起来。

近15年的摸索和尝试，笔者确立了“解用结合、设置层次、关注细节”的策略，课堂的活力值得兴奋。 现以《因式分解法解一元二次方程》为例展开展开阐述——

1.解用结合，提供活水。数学是描述交流世界的表达方式。方程是刻画数量关系的模型，是生活问题数学化的桥梁，是沟通数学与生活与其他学科的有力工具。“问渠哪得清如许，为有源头活水来。”方程的源头是生活，抓住源头就是抓住学习的价值。授之以鱼，不如授之以欲。应用才能激活需要，有用的知识才有力量。教材就是素材。课后习题“问题解决第3题”【见附件1】就是极为典型的素材：“正方形土地割出块长方形栽种鲜花，长方形面积已知、长方形长宽和正方形变成的关系已知，求正方形的边长。”确定未知数，“设正方形边长为x米”；表示长方形的长和宽，分别等于“x-1+、x-2”米；寻找相等关系列方程，“（x-1）（x-2）=12”.列方程解方程，动作连贯。当然可以用配方法，但配方法过于机械；当然可以用公式法，但公式法过于程式。探索能够降次的、灵动的、便捷的手段就成为了学习需要。枯燥呆板意味着与己无关，倘若和自己的学习生活利益息息相关，即便废寝忘食也会乐此不疲的。源自生活背景鲜活，远远比生硬的开门见山有吸引力；问题解决源自心理需要，尝试摸索付出心甘情愿，“应用意识”调动出了学习的动力；注重需要就是注重问题解决意识，发现提出分析解决是问题解决的完整系列，学习将因此进入良性轨道循环。“先声夺人”，作为新知识教学开端生活与数学的联系会在学生心目中打下印记，应用意识才是数学学习的活水；

2.设置层次，提供氛围。孙武子说，“文武之道，一张一弛。”张弛结合代表着节奏，节奏鲜明得生活学习才不会招致厌倦。乐音和噪音的分水岭就在于节奏，前者有规律后者杂乱无章。其结果大相径庭，乐音让人愉悦噪音使人烦躁。 教学设计有层次和节奏，学起来才能时而舒缓时而紧张，兴奋点始终处于最佳状态。因式分解法解方程，教学可以打造出5个层次：学生独立解方程x²=3x，自由发挥，不限制解法；方法点评，分析每种方法的优劣，刻意指出两边同时消掉x的不足，引出因式分解法；典型例题分析，（x-2）²=3x-6、（2x+3）（x-7）=（4-2x）（7-x），既可以整体移项提公因式，又可以化简整理方程左边化作2次3项式用十字相乘法解决；练习，完成课后习题第1题，分析解题失误或者可取之处，并总结因式分解法解方程的主要步骤；检测，完成课后习题第2题中的（1.3.5.7）。独立解方程，聚精会神；方法点评，梳理每种解法的优势；典型分析，形成解题思路；练习，新知识的应用，发现问题和或者长处取长补短；检测，验收学习情况。层次鲜明，每个环节有每个环节的任务，完成任务之后会产生新的思考，不断发现新问题解决新问题，最终实现思维水平的提升。“你方唱罢我登场”，重点在于让一方唱起来并且让另外一方做好铺垫，一环套一环环环相扣，学生始终处于不同形式的兴奋之中，浓郁的学习氛围才是适宜优质学习的优质环境；                                     

3.关注细节，提供精彩。教学是预设和生成的统一。提前谋划的叫预设，见机行事的叫生成。因预设而相对静止，因生成而相对灵动。课堂教学的精彩，归根到底靠的是生成。生成往往出自偶发事件，考验教师的是捕捉能力和发挥能力。 华应龙老师提倡的化错教育，容错、荣错、化错，即便是失误也能够提炼出教育资源进而为教学所用。“错的好”，华老师的金句恰恰体现了生成的宝贵。因式分解法解方程教学，笔者遇到过如此的小确幸：解方程x²=3x，有学生两边约掉了未知数x，得到答案x=3。“一语中的，经典，神奇，妙哉，瞬间得解”，我一连给发了5个赞叹外加点头不止。继而，我让该学生当众讲解解题的思路、依据和优势。学生评价跟进，在交流中深化对等式性质的理解、对化解意识的坚守。 相对漫长的等待，终于迎来了杂音“x=0也是方程的根”。我故作惊愕，学生们也呆住了，点拨“丢掉一个解，原因到底在哪里呢？”等式性质即“除数不能为0”得到了再次强调和警醒。“发挥两个同学的优势，如何解方程才能不丢根？”因式分解法解方程就自然而然的现身了。我捕捉的瞬间有3个：一是解方程同时约掉了未知数“简单，简单？不简单！”二是不同的思考“还有一个根”“一石激起千层”三是分析失根的原因并点拨怎样能够保证不失解“此时无声胜有声” ，三个细节三个精彩。“细节决定成败，细节产生精彩”，细节的魅力在于打磨，即便细节的都能做出滋味，教学是锦缎细节是点缀锦上添花必定无疑。

  《2022版数学课程标准》提出了核心素养，“抽象、推理、模型”。回归直观，学习才能生动；重视语言，思维才能外显；建立模型，能力才能提高。解方程教学固然相对枯燥，细节（推理）、应用（模型）、活动（抽象）等连串动作直接指向了核心素养，因而课堂才“活”起来、教学才能“火”起来。 

【附件1】