“探索图形”教学实录与评析

济源市河苑街小学  范小枫  

 

【教学内容】新人教课标版五年级数学下册第44页“探索图形”

【教材分析】

    “探索图形”一课是安排在认识长方体和正方体之后的一节综合与实践活动。目的是让学生运用所学过的正方体的特征等知识，探索由小正方体拼成的大正方体中各种涂色小正方体的数量，发现其中蕴含的数量上的规律，以及每种涂色小正方体的位置特征，培养学生的空间想象能力和推理能力，体会分类计数、以简驭繁、数形结合的思想方法，感受代数思维的优越性。

本活动分为四个层次：

第一个层次：提出问题

由生活情境“魔方灯”引出问题：用若干个棱长为1cm的小正方体拼成大正方体，然后把大正方体的表面涂色，找出小正方体中三面、两面、一面涂色以及没有涂色的个数。

第二个层次：尝试解决，探索规律

学生尝试以简驭繁，从棱长为2cm、3cm、4cm入手用列表法表示出问题，通过观察、想象和推理找出每种涂色情况的小正方体的块数。在尝试过程中，逐步发现每种涂色情况的位置特征和规律。

第三个层次：应用规律，解决问题

在学生初步发现规律后，再利用规律找出棱长5cm、6cm的大正方体的涂色情况，加以验证，明确规律，并进一步应用到更多的大正方体中。

第四个层次：拓展应用

借助数图形的问题，利用前面积累的活动经验和方法进行问题解决的探究。

【教学目标】

     1.进一步认识和理解正方体特征。

     2.通过观察、列表、想象等活动经历“找规律”过程，获得“以简驭繁”、“数形结合”、“分类计数”等解决问题的经验，培养学生的空间想象力。

3.让学生体会分类计数、数形结合、归纳、推理、模型等数学思想，培养学生代数思维的能力，积累数学思维的活动经验。

     4.在相互交流中，学会倾听他人意见，及时自我修正、自我反思，增强学好数学的信心。

【教学重点】探索各类涂色的小正方体所在位置特征及数量规律，发展学生的空间想象能力。

【教学难点】数学归纳、推理、模型等数学思想的感悟。

【教具学具】正方体学具、课件

【课前交流】

    大屏幕出示课题：探索图形

师：同学们，今天我们要一起学习什么？

生：探索图形。

师：我们今天要探索的图形和什么图形有关？

生1：正方体。

师追问：你是怎么知道的？

生1：我从数学书44页看到的。

师：哦，是不是提前预习课本了？这个学习习惯非常好，值得大家学习！还有谁是通过不同的途径知道的？

生2：我看到老师为我们提前准备的三个学具都是正方体的。

师：你很善于观察！观察与思考正是我们数学学习所必须的。希望在今天的课堂中每个同学都能善于观察、勤于思考、勇于探索，相信大家会有精彩的表现！准备上课！

【教学过程】

一、  情境导入，提出问题

师：同学们，请看大屏幕，这是什么？

生：魔方。

师：准确的说是魔方灯。一个绚丽多彩的魔方灯是由四类小正方体灯箱拼成的，我们来一起看！（3D动画演示，教师配以介绍）它们分别是：三面有灯板的、两面有灯板的、一面有灯板的和没有灯板的。这四类小正方体灯箱按照一定的规律拼在一起就组成了一个绚丽多彩的魔方灯。

现在工人师傅准备定制一批下面这些魔方灯，想要快速配发这4类灯箱，你能找出它们的数量规律吗？（课件出示：LED魔方灯）

这节课就让我们一起来探索图形，寻找它们的数量规律！（板书课题）

【评析：首先通过一个简短的交流，让学生知道本课要探索的图形是和正方体有关的图形，唤醒学生已有的认知经验，为即将展开的的探索活动做好知识的铺垫。接下来借助绚丽多彩的魔方灯导入，继而提出问题，较大程度地激发了学生学习的兴趣，为即将展开的的探索活动做好情感的铺垫。】

二、  动手操作，探索规律

1. 明确问题：

 师：如果把魔方灯上有灯板的面看做是涂色的面，那么，我们现在要研究的问题就是：（课件出示）

认真读题，从中你知道了什么信息？要求的问题是什么？

生1：想要知道三面涂色、两面涂色、一面涂色和没有涂色的小正方体各有多少块？

师：这是要解决的问题，知道的信息是什么呢？

生1：大正方体是用棱长为1cm的小正方体拼成的。在大正方体的表面涂色就是指外面的六个面都涂上颜色，里面没有涂色。

师：要研究四类小正方体各有多少块，可以用什么方法进行研究呢？

生：列表法。

师：对，我们可以利用列表的方法进行分类计数。

【评析：“综合与实践”是以一类问题为载体，师生共同参与的一种学习活动，这里以现实问题“制作魔方灯需要配发各类小正方体”为载体，将现实问题转化为数学问题，把生活中的数学与课堂上的数学相联系，让学生感受数学在日常生活中的作用，体验能够运用所学知识和方法解决现实问题的过程，进而获得初步的数学活动经验。】

2. 合作探究：

师：在开始研究之前，我们先了解一下我们的研究任务吧，请大家认真阅读研究记录单。

学生认真阅读研究记录单，明确任务。（课件出示相应任务） 

师：下面同桌合作开始研究。

(同桌合作研究，教师巡视，适时予以个别指导。)

【评析：《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：“‘综合与实践’的教学，重在实践，重在综合。”综合是一种思维，实践是一种探索精神。让学生全员参与，合作探究，充分探索，这是本课的活动重点。整个探索活动通过任务的驱动和问题的引领，让学生全程完整地参与探索，在经历探索的过程中加深对相关数学知识的理解，体验各类小正方体的位置特征，并逐步发现规律。】

3.展示交流

（1）初步感悟

师：各小组都已经完成任务了，下面我们就从简单的图形开始汇报吧。哪一组同桌先来给大家汇报一下棱上块数是2的正方体的研究结果？

第4小组汇报（一生用教具演示汇报，另一生板书完成表格）：首先，我们来看三面涂色的块数，我们认为应该是8，因为正方体有8个顶点，每个顶点处都是三面涂色的，所以三面涂色的个数是8，那么，其他的都为0。

师：这组同桌多么善于观察和总结，他们不仅汇报了四类小正方体的块数，还发现了三面涂色的小正方体都在大正方体的顶点处，它们的数量和大正方体的顶点数有关。那棱上块数是3时结果又如何呢？下面请第1小组来汇报你们的研究结果。

第1小组汇报（一生用教具演示汇报，另一生板书完成表格）：三面涂色的有8个，因为正方体有8个顶点；两面涂色的有12个，因为有12条棱，每条棱上有1个；一面涂色的有6个，在每个面的中间；没有涂色的就剩1个了。

师追问：你能解释得再清楚一些吗？

生：我们也发现三面涂色的小正方体都在大正方体的顶点处，所以是8个；两面涂色的在大正方体棱上，每条棱上除去两个顶点后就剩1个了，12条棱，所以就是12个；一面涂色的在大正方体每个面上，除去外面一圈三面涂色的和两面涂色的，每个面上就剩正中间1个，6个面就是6个。

师继续追问：那没有涂色的小正方体呢？

生补充：没有涂色的小正方体在大正方体的正中心，用大正方体的总块数3³减去三面涂色的、两面涂色的、一面涂色，就只剩1个了。

师：解释的非常清楚！三面涂色、两面涂色、一面涂色的都是我们能够看到的，只要发现它们的位置特点，再寻找数量规律就容易多了。而没有涂色的虽然看不到，但我们可以借助已有的数量来计算。能够有效利用已有信息来解决未知的问题，这个思路很好！那么，棱上块数是4的结果又如何呢？

第5小组汇报（一生用教具演示汇报，另一生板书完成表格）：因为正方体有8个顶点，那么三面涂色的总是8块；一条棱上本来有4个小正方体，减去2个三面涂色小正方体，剩下2个是两面涂色的，再乘上12条棱等于24，所以两面涂色的就是24块；每个面上原本有16块小正方体，减去外圈的12块三面涂色和两面涂色的之后，还有4块，也就是每个面上一面涂色的有4块，有6个面，所以一面涂色的就是4×6=24块；剩下的没有涂色的块数就是8块。

师追问：为什么没有涂色的是8块？

生：因为总共有64块，减去三面涂色的、两面涂色的、一面涂色的，剩余的就是没有涂色的8块。

师：哦，看来你们的方法和刚才第1小组的相同，哪个小组有不同的方法吗？

第6小组：我们发现没有涂色的小正方体在原来大正方体的内部，是在上下、前后、左右各除去了一层后剩下的部分。

师追问：除去整个外层之后，是什么形状的？

生：一个新的正方体。

师继续追问：这个新的正方体和原来的正方体有什么关系呢？仔细观察一下。

生：原来棱上3块时，新正方体棱上是1块；原来棱上4块时，新正方体棱上是2块。所以我们发现没有涂色的新正方体棱上块数总比原来大正方体棱上块数少2.

师：是这样吗？我们一起来看一下（课件演示，将几组图形继续对比）。

师：非常感谢刚才4组同桌的汇报，根据他们的汇报，请大家抓紧时间检查一下你们的研究结果，有问题的借助模型再数一数，想一想。

（学生检查反思）

（2）小结规律

师：根据大家刚才的研究结果，我们一起来梳理一下吧。

※三面涂色的

师：我们先来看三面涂色的有什么位置特征和数量规律呢？

生：三面涂色的都在大正方体的顶点上（师板书：顶点上），因为大正方体有8个顶点，所以三面涂色的都是8块。（课件依次出示三幅图形，并闪现三面涂色小正方体）

小结规律1：三面涂色的小正方体块数都是8

师：简洁明了，很好！

※两面涂色的

师：两面涂色的呢？

生：两面涂色的在棱中间（师板书：棱中间），大正方体有12条棱，所以用每条棱上除去两个顶点后剩下的块数乘12。（课件依次出示三幅图形，并闪现两面涂色小正方体）

师：思路很清晰，先找到位置规律，再说数量规律。

小结规律2：两面涂色的小正方体块数：每条棱中间的块数×12

※一面涂色的

师：一面涂色的呢？

生：在正方体每个面的中间（师板书：面中间），大正方体有6个面，所以用每个面除去外边一圈后后剩下的块数乘6。（课件依次出示三幅图形，并闪现一面涂色小正方体）

师：说的也很清楚。

小结规律3：一面涂色的小正方体块数：每个面中间的块数×6          

※没有涂色的

师：那没有涂色呢？

生1：用总块数减去三面涂色的、两面涂色的、一面涂色的，最后剩下的就是没有涂色的。

师：我们刚才的大正方体块数比较少，计算起来还行，如果棱上块数很多，比如24块，算一算试试看吧？

生1：（很不好意思）好像挺麻烦的。

师：是啊，这个方法虽然不错，但有的时候用起来还是不太方便，那谁有比较简洁的方法？

生2：刚才第6小组已经说过，没有涂色的在大正方体的中心，也就是把前后左右上下一圈都剥离一层后剩下的部分，它是一个新的正方体，用它的棱上块数×棱上块数×棱上块数，简单的说就是棱上块数³。

师：这个方法听起来还不错哦。用心观察和思考，我们就可以发现新旧正方体之间的数量关系，利用它们之间的关系进行研究就简单多了。

小结规律4：没有涂色的小正方体块数：新正方体棱上块数³

（3）验证规律

 师：根据我们刚才的研究经验，按这样的规律摆下去，棱上块数是5，棱上块数是6的结果又会是怎样的呢？请大家认真想一想，有困难的话也可以同桌互相说一说。

（学生思考、交流）

师：下面我们就先从棱上块数是5的开始吧，谁来给大家汇报一下？

第2小组（一生汇报，一生板书）：三面涂色的在顶点上是8块；两面涂色的棱的中间，每条棱中间有3块，3乘12等于36，两面涂色的就有36块；一面涂色的在面的中间，每个面中间有3×3=9（块），6乘9等于54，一面涂色的就是54块；没有涂色的是个新正方体，块数是3×3×3=27（块）。

师：棱上块数是6的呢？

第3小组（一生汇报，一生板书）：三面涂色的有8块，因为正方体有8个顶点；两面涂色的有48块，因为每条棱上有6块，减去顶点上的两块就是4块，4×12=48；一面涂色的块数是96，因为每个面中间有4×4=16（块），有6个面，16×6=96；没有涂色的块数有64块，因为一层是4×4=16（块）有4层，长×宽×高，一共就是16×4=64（块）。

师追问：这里的长、宽、高有什么特点？

生：都是4。

师追问：所以，我们还可以说成4的立方。

（4）归纳提升

      师：根据我们刚才的这些研究，如果大正方体每条棱上的块数为n，你能找到四类小正方体的数量规律吗？认真想一想，写一写。

（学生独立完成后全班交流）

师：好，下面我们听一听第1小组的研究结果吧！

第1小组：如果棱上块数为n，三面涂色的小正方体块数是8 ，因为不管每个正方体是由多少块小正方体组成的，永远都是有8个顶点，所以三面涂色的小正方体块数都是8；两面涂色的小正方体块数是(n-2)×12 ，因为n是每条棱上的小正方体个数，减去2就是减去三面涂色的块数，剩下的就是每条棱上两面涂色的块数，它有12条棱，就乘12；一面涂色的小正方体块数是(n-2)²×6，因为每条棱上的n个小正方体，减去顶点上的2个，它的平方就是每个面上一面涂色的块数，6个面，再乘6就是一面涂色的正方体总数。没有涂色的小正方体块数是(n-2)³ ，因为每条棱上原来有n个小正方体，上下前后左右各剥离一层后，剩下的每条棱上是（n-2）块，所以总块数就是 (n-2)³。

【评析：《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出在实施“综合与实践”时，“教师要组织好学生之间的合作交流，并照顾到所有学生”。只有充分的交流，才能将解决问题的过程中出现的各种情况呈现出来；只有充分的交流，才能让学生明晰解决问题的最好途径和问题解决的最终结果；只有充分的交流，师生间、同伴间才能彼此增进了解并共同分享活动成功的喜悦。本环节通过三个小组对三个图形的交流汇报、小组内反思回顾、整体梳理归纳这三个层次的交流，帮助学生积累了有特殊到一般、寻找规律的一般经验。】

四、应用规律，解决问题

师：按照这样的规律摆下去，棱上块数是12，结果如何呢？     

（学生独立计算后全班交流。）

生：三面涂色的：8块；

两面涂色的：（12-2）×12=120（块）；

一面涂色的：（12-2）²×6=600（块）；

没有涂色的：（12-2）³=1000（块）；  

师：如果再大点儿，比如棱上块数是20呢？能解决吗？要是再大点儿呢？

在规律面前，再大的数都变得渺小了，这正是探索规律的价值所在。

【评析】学生已经有了之前从特殊到一般的活动经验，这个环节则是让学生感受到探索规律的价值所在，学以致用。

五、回顾反思，感悟思想

师：回想刚才的探索过程，我们先从简单图形入手进行研究，在发现规律之后再用规律去解决复杂的问题，这是一种解决问题的常用方法叫做“以简驭繁”。在探索四类小正方体的数量规律时，我们还运用了“数形结合”和“分类计数”的方法，这些都是我们数学研究中的常用方法，这些方法可以让原本复杂的问题变得简洁清晰，有助于我们发现规律。

【评析：综合与实践可以理解为一种数学探究或数学建模活动，是学生综合运用所学的数学知识、思想、方法解决一些数学问题或现实问题的过程。思想感悟与经验积累决定了人的思维方式。学生只有对所经历的活动通过回顾、反思等内在的思考，才能将经历内化为能够理解的经验。本课中所体现的“分类计数”、“数形结合”、“以简驭繁”等数学思想方法都是在数学研究中常用的方法，让学生有所感悟，有助于学生更好地利用这些活动经验解决更多的问题。】

六、巩固练习，拓展运用

师：接下来，请大家借助刚才的这些活动经验，完成一道练习题。（出示练习题）

想一想，数一数，下面图形中各有多少块小正方体？

（学生独立思考后全班交流）

生1：

第一幅图：从上往下看，第1层有1块；第二层比第一层多两块，是1+2=3块。一共就有1+3=4块。

第二副图：从上往下看，第1层也是1块；第二层是1+2=3块，第三层是3+3=6块。一共就是1+3+6=10块。

第三副图：从上往下看，第1层是1块；第二层是1+2=3块，第三层是3+3=6块。第四层是6+4=10块，一共就是1+3+6+10=20块。

师：他是按照分层的方法进行了分类计数，思路很清晰。谁还有不同的方法想法吗？

生2：我的第一幅图的方法和他的一样，第二副图我是直接在第一幅图的基础上加最底层的，大家看，第二副图的上面两层不就是第一幅图了吗？那么第三副图就是在第二副的基础上加上最底层的。

师：他不仅看到了每一幅图上下层之间的关系，而且能看到三副图之间的联系。真是一个善于观察和思考的孩子！

师：如果把它们的表面分别涂上颜色，结果如何呢？这个留给大家课下思考。

【评析：练习既要巩固基础，又要开拓创新。通过解决数小正方体个数这一问题，让学生再次经历运用“分类计数”的方法解决问题的全过程，这正是对之前积累的活动经验有效的拓展运用，学以致用的同时又有了新的感悟。】

七、全课总结

师：我们这节课探索的只是图形问题中的冰山一角，在图形的世界里还有许多有趣的规律等待大家去发现和探索。只要大家认真观察，掌握方法，大胆探索，相信你们会有更多精彩的发现！

【评析：课末简短的小结旨在帮助学生进行反思和实现迁移，从而使学生养成认真观察、自觉思考、勇于探索的数学学习习惯，进而完善学生的数学思维方式，提升学生的数学素养。】

同学们，再见！

【板书设计】                  

探索图形   

       顶点上 （8）  棱中间（12）面中间（6）   新正方体

棱上 块数	三面涂色 的块数	两面涂色 的块数	一面涂色 的块数	没有涂色 的块数
2	8	0	0	0
3	8	1×12=12	1×6=6	1
4	8	2×12=24	4×6=24	2×2×2=8
5	8	3×12=36	9×6=54	3×3×3=27
6	8	4×12=48	16×6=96	4×4×4=64
n	8	（n-2）×12	（n-2）2×6	（n-2）3