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  2017西安铁路职业技术学院高职单招考试模拟试卷一

                       数学

本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。

参考公式：锥体体积公式V=Sh,其中S为锥体的底面积，h为锥体的高。

线性回归方程中系数计算公式

样本数据x₁,x₂,……，xa的标准差，

其中表示样本均值。

N是正整数，则

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设复数z满足iz=1，其中i为虚数单位，则

A．-i      B．i       C．-1       D．1

2．已知集合A=为实数，且，B=且则AB的元素个数为

A．4          B．3           C．2             D．1

3．已知向量a=（1,2），b=（1,0），c=（3,4）。若为实数，（），则=

A．     B．     C．1   D．2

4．函数的定义域是

A．     B．（1，+）

C．（-1，1）∪（1，+∞）    D．（-，+）

5．不等式2x²-x-1>0的解集是

A．  B．（1， +）   

C．（-，1）∪（2，+）    D．

6．已知平面直角坐标系上的区域D由不等式  给定，若M（x，y）为D上的动点，点A的坐标为，则z=·的最大值为

A．3    B．4    C．3    D．4

7．正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有

A．20    B．15   C．12    D．10

8．设圆C与圆x²+（y-3）²=1外切，与直线y =0相切，则C的圆心轨迹为

A．抛物线     B．双曲线      C．椭圆      D．圆

9．如图1-3，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别是等腰三角形和菱形，则该几何体体积为

 

A．     B．4      C．      D．2

10．设f（x），g（x），h（x）是R上的任意实值函数，如下定义两个函数和；对任意x ∈，（f·g）（x）=；（f·g）（x）=．则下列恒等式成立的是

A．

B．

C．

D．

二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分。

11．已知是同等比数列，a₂=2,a₄-a₃=4,则此数列的公比q=______

12．设函数,若,则f（-a）=_______

13．为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x（单位：小时）与当天投篮命中率y 之间的关系：

时间	1	2	3	4	5
命中率	0．4	0．5	0．6	0．6	0．4

小李这5天的平均投篮命中率为_________;用线性回归分析的方法，预测小李每月6号打篮球6小时的投篮命中率为________．

（二）选择题（14-15题，考生只能从中选做一题）

14．（坐标系与参数方程选做题）已知两曲线参数方程分别为（0<</span>）和（t），它们的交点坐标为             。

 

15．（集合证明选讲选做题）如图4，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=4，CD=2．E,F分别为AD，BC上点，且EF=3，EF∥AB，则梯形ABFE与梯形EFCD的面积比为

三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16．（本小题满分为12分）

已知函数，R。

（1）求的值；

（2）设，f（3）=,f（3+2）=．求sin（ ）的值

17．（本小题满分13分）

在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分。用x_n表示编号为n（n=1,2,…,6）的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下：

编号n	1	2	3	4	5
成绩xn	70	76	72	70	72

（1）求第6位同学的成绩x₆，及这6位同学成绩的标准差s;

（2）从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间（68，75）中的概率。

18．（本小题满分13分）

图5所示的集合体是将高为2，底面半径为1的直圆柱沿过轴的平面切开后，将其中一半沿切面向右水平平移后得到的．A，A′，B，B′分别为,,,的中点，分别为的中点．

（1）证明：四点共面；

（2）设G为A A′中点，延长\到H′，使得．证明：

 

19．（本小题满分14分）

设a＞0,讨论函数f（x）=lnx+a（1-a）x²-2（1-a）的单调性。

 

20．（本小题满分14分）

设b>0，数列}满足a₁=b,

（1）求数列的通项公式；

（2）证明：对于一切正整数n，2ab+1

 

 

 

21．（本小题满分14分）

在平面直角坐标系中，直线交轴于点A，设是上一点，M是线段OP的垂直平分线上一点，且满足∠MPO=∠AOP

（1）当点P在上运动时，求点M的轨迹E的方程；

（2）已知T（1，-1），设H是E 上动点,求+的最小值，并给出此时点H的坐标；

（3）过点T（1，-1）且不平行与y轴的直线l₁与轨迹E有且只有两个不同的交点，求直线的斜率k的取值范围。

 

 

 

 

参考答案

 

一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算，共10小题，每小题5分，满分50分。

A卷：1—5DBCBA    6—10CADCB

二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性。共5小题，每小题5分，满分20分，其中14—15题是选做题，考生只能选做一题。

11．2   12．-9    13．0.5，0.53    14．     15．7：5

三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。

16．（本小题满分12分）

解：（1）

；

   （2）

故

17．（本小题满分13分）

解：（1）

，

   （2）从5位同学中随机选取2位同学，共有如下10种不同的取法：

{1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，5}，{2，3}，{2，4}，{2，5}，{3，4}，{3，5}，{4，5}，

选出的2位同学中，恰有1位同学的成绩位于（68，75）的取法共有如下4种取法：

{1，2}，{2，3}，{2，4}，{2，5}，

故所求概率为

18．（本小题满分13分）

证明：（1）中点，

连接BO₂

直线BO₂是由直线AO₁平移得到

共面。

   （2）将AO₁延长至H使得O₁H=O₁A，连接

由平移性质得=HB

19．（本小题满分14分）

解：函数的定义域为

当的判别式

①当有两个零点，

且当内为增函数；

当内为减函数；

②当内为增函数；

③当内为增函数；

④当

在定义域内有唯一零点，

且当内为增函数；当时，内为减函数。 的单调区间如下表：

   （其中）

 

20．（本小题满分14分）

解：（1）由

令

当

①当

②当时，

   （2）当

只需

综上所述

21．（本小题满分14分）

解：（1）如图1，设MQ为线段OP的垂直平分线，交OP于点Q，

因此即

①

另一种情况，见图2（即点M和A位于直线OP的同侧）。

 

MQ为线段OP的垂直平分线，

又

因此M在轴上，此时，记M的坐标为

为分析的变化范围，设为上任意点

由

   （即）得，

故的轨迹方程为

②

综合①和②得，点M轨迹E的方程为

 

 

 

（2）由（1）知，轨迹E的方程由下面E₁和E₂两部分组成（见图3）：

 

；

当时，过Ｔ作垂直于的直线，垂足为，交E₁于。

再过H作垂直于的直线，交

因此，（抛物线的性质）。

（该等号仅当重合（或H与D重合）时取得）。

当时，则

综合可得，|HO|+|HT|的最小值为3，且此时点H的坐标为

   （3）由图3知，直线的斜率不可能为零。

设

故的方程得：

因判别式

所以与E中的E₁有且仅有两个不同的交点。

又由E₂和的方程可知，若与E₂有交点，

则此交点的坐标为有唯一交点，从而表三个不同的交点。

因此，直线的取值范围是