探究必备

几个数公有的因数叫作这几个数的公因数，其中最大的一个叫作这几个数的最大公因数。求几个数的最大公因数通常用短除法，即用几个数公有素因数连续去除，一直除到商里没有共同的素因数为止。

例1 一根铁丝长42厘米，一根铜丝长56厘米，现在要把它们都截成同样长的小段，并且没有剩余，每段最长多少厘米？一共可以截成几段？

思路分析：“都截成同样长的小段，并且没有剩余”，就是每段长度是原来两根长度的公因数，求“最长”就是公因数中最大的一个。至于求共截多少段，可由两根截成的段数相加即可得到。根据题意得：

42÷每段长度＝铁丝段数

56÷每段长度＝铜丝段数

截得的每段长度是42、56的公因数，要求每段最长多少厘米，就是求42、56的最大公因数。42和56的最大公因数是14。

解：42和56的最大公因数是14。

42÷14＝3（段）

56÷14＝4（段）

3＋4＝7（段）

答：每段最长14厘米，一共可以截成7段。

举一反三

1. 一个数既能整除45，又能整除60，这个数可能是多少？其中最大的是多少？

2. 六年级72名女生和96名男生站队做操，每队中男生与女生的人数分别相等。最多站多少队？

3. 一根铁丝长42厘米，另一根铁丝长63厘米，现在要把它们都截成同样长的小段，并且没有剩余，每段最长多少厘米？一共可以截成几段？

例2 一个新建的教室长9.6米，宽7.8米，现在要用一种地板方砖铺地面，不用切割，刚好用整数块。铺这个教室至少要用多少块地板方砖？

思路分析：题目要求“至少”用地板方砖多少块，则每块方砖边长要“最大”；“方砖不切割，刚好用整数块”，则方砖边长是原来长方形教室长和宽的最大公因数。根据题意画图：

   教室长÷方砖边长＝长的块数

教室宽÷方砖边长＝宽的块数

长的块数×宽的块数＝一共用砖的块数

方砖的边长是教室长、宽的公因数，要使得铺的块数最少，每块方砖的边长要最长，也就是96分米和78分米的最大公因数。

解：9.6米＝96分米   7.8米＝78分米

96和78的最大公因数是6，即方砖边长是6分米，再用方砖边长分别去除教室的长与宽，得到的商再相乘：

（96¸6）×（78÷6）＝208（块）

或用教室地面面积除以每块方砖的面积

（96×78）÷（6×6）＝208（块）

答：铺这个教室至少要用208块地板方砖。

小提示：想这里为什么要把“米”化成“分来”做单位？

举一反三

4．两根木料，分别长6米和7.2米。现在用一根木尺分别去量，恰好量完，没有剩余。这根木尺最长有多少米？

5．手工课上，孟老师要求同学们将一张长36厘米、宽24厘米的长方形彩纸，剪成若干个小正方形，每个小正方形的边长最长是多少厘米？这张彩纸至少可以剪多少个小正方形？

6．水果店挑选了105个火龙果、84个橙子、63个猕猴桃装配果篮，每篮各种水果的数量分别相等，这些水果刚好装完。最多可以装多少篮？每篮中三种水果各装多少个？

例3 学期末，洪老师买了18支铅笔和25本硬面抄作为奖品，平均奖励给班级“三好学生”。结果铅笔剩下2支，硬面抄剩下1本，这个班“三好学生”最多有多少名？

思路分析：根据条件“平均奖励给班级‘三好学生’”，就是每人获得的铅笔支数都相等，每人获得的硬面抄本数也都相等。从买的两种奖品总数中分别去掉发剩下的数量就是奖励的奖品总量。如果铅笔少买2支，硬面抄少买1本，即铅笔16支，硬面抄24本，则刚好奖励完，即可以得到：

已发铅笔总数＝每人支数´“三好学生”人数

已发硬面抄总数＝每人本数´“三好学生”人数

此时“三好学生”人数就是16和24的因数，要求人数最多，也就是求16和24的最大公因数。

解：18－2＝16（支）

25－1＝24（本）

16和24的最大公因数是8。

答：这个班“三好学生”最多有8名。

小提示：这里的“平均奖励”即每人获得相同奖品的数量相等，“三好学生”人数最多，则“三好学生”人数是两种已发奖品数的最大公因教。

举一反三

7．社会实践活动结束了，陈老师买了18支铅笔和25本硬面抄作为奖品，平均奖励给班级“三好学生”，结果铅笔缺少2支，硬面抄剩下1本，这个班“三好学生”最多有多少名？

8．寒假少年宮各种兴趣班招生，奥数班招了96人，剑桥英语班招了128人，跆拳道班招了64人。现在少年宫要将这些学员编班，每班人数相等，奥数班至少比跆拳道班多几个？

9．把121朵百合、70朵康乃馨分扎成一样的花東，要求每東花的构成一样，结果百合剩下1朵，康乃还少2朵。这些花最多扎成多少束？每束花里百合和康乃馨各有几朵？

综合检测

1. 42＝2×3×7，63＝3×3×7，42和63的最大公因数是多少？

2. 某班有男生27人，女生18人。全班同学去划船，每条船上既有男生又有女生，且男女生平均分配至各船。每条船最多可坐多少人？至少要租几条船？

3. 有两根火腿肠，分别长36厘米和16厘米。把它们截成同样长的小段，而且没有剩余，每小段最长是多少厘米？至少共能截成几段？

4. 把47块德芙巧克力和39个果冻分别平均分给一个组的同学，结果德芙巧克力剩2块，果冻剩4个。这组最多有多少名同学？

5．王老师把25本《心情日记》和39本《玩转数学》分别平均分给第一组的同学，结果《心情日记》多1本，《玩转数学》多3本。第一组最多有多少名同学？

6．把50个果冻和34块巧克力分别平均放在几个果盘内，结果果冻剩2个，巧克力还差2块。最多有几个果盘？每个果盘里有几个果冻，几块巧克力？

7．两个小朋友用96个红花片和72个蓝花片串花环，如果每串里红花片和蓝花片的个数要分别相等，那么每串花环里至少要几个花片？

8．有一些木条，12分米长的有8根，18分米长的有9根，24分米长的有5根。现在要把它们截成一样长的小段，且不浪费。这些木条至少可以截多少段？

9．把一张长18厘米、宽12厘米的长方形纸剪成边长是整厘米数且同样大的小正方形，最多可以剪多少个？最少呢？

搏击奥数

1．某市要在一条路（如图）的一边等距离地安装路灯，市政部门的要求是：在A、B、C处要各安装一盏路灯；

在AB中点，BC中点要各安装一盏路灯：

尽量节省开支。

你能为施工部门设计一个合理的施工方案吗？说出你的理由。

2．实验小学新建的操场长255米，宽150米。现在要在它的周边都栽上白桦树，四个角要各栽一棵，相邻两棵树之间的距离要大于2米且小于10米，并且为整米数。请你为学校计划一下要买多少棵树苗。