三种类型最值问题的解题思路

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在行测考试中“最值”问题通常以“求某一个量的最大值（最小值）或至多为（至少为）”来提问，要求考生在做答时去寻求满足题干条件的一种极端情况。

最值问题大体分为三种题型，当考试中遇到这三种题型时只要我们利用相应的解题方法去应对，求解最值问题将轻而易举。

一、极限构造法

和定最值问题是考试中出现比较频繁的一类最值问题，解决这类问题一般采用极限构造法。具体判别方法和思路如下：

典型特征：1、题目交代和的情况；2、最后求其中一部分的最大值或最小值。

核心思想：一部分越多，另一部分就越少。假使要使其中一个尽量大（小），则使余下的部分在满足条件情况下应尽量小（大）。

答题四步骤：分类（根据题目给出不同的限制条件将量分为几类）→构造（根据题目构造出极端情况下各部分的数值）→列式计算→调整（极大向小调，极小向大调）

例1：某连锁企业在10个城市共有100家专卖店，每个城市的专卖店数量都不同，如果专卖店数量排名第5多的城市有12家专卖店，那么专卖店数量排名最后的城市，最多有几家专卖店?

A. 2　      B. 3         C. 4　        D. 5

【题目解析】

题目特征：1、共有100家专卖店，和为100；2、求其中排名最后的城市的最大值。

核心思想：要使排名最后的城市专卖店数目最多，则其他城市专卖店数目在满足条件的情况下尽可能少。

答题四步骤：

一、分类，根据题目条件分为三类：专卖店排名前五，排名第六至第九，排名最后的专卖店；

二、构造，设排名最后的城市有X家，则其他城市专卖店数尽可能少的情况：16、15、14、13、12；X+4、X+3、X+2、X+1、X。（注：红色量为构造数据的依据）

二、列式，16+15+14+13+12+X+4+X+3+X+2+X+1+X=100，解得X=4。

三、此题中X为整数满足条件，不需要调整。如果解出来X=4.5，因为专卖店数目必为整数，且要求取极大值，此时向小调为整数取4。答案选C。

（PS小延伸：改变题目条件又该如何做？比如加条件：排名倒数第三的城市有6家专卖店，问排名最后的最多有几家？）

二、最不利原则（抽屉原理的反向应用）

“最不利原则”适用于题目中出现“至少……才能保证……”的题型。在最值问题中算难度系数和灵活度都不大的一类，题型固定，与其他类型结合较少，属于抽屉原理的变形。

典型特征：题目中出现“至少……才能保证……”的说法。

核心思想：要保证一个事件必然发生，那么考虑这个事件不会发生的极端情况，在此基础上实现这件事。

解题步骤：1、找出最不利于该事件发生的可能；2、在最不利的基础上加1

例：某单位组织党员参加党史、党风廉政建设、科学发展观和业务能力四项培训，要求每名党员参加且只参加其中的两项。无论如何安排，都有至少5名党员参加的培训完全相同。问该单位至少有多少名党员？

A.17       B.21            C.25        D.297

【题目解析】

典型特征：题干翻译为，该单位至少有多少名党员才能保证5名党员参加的培训相同。

核心思想：要保证至少有5名党员参加培训相同，则最极端的情况为每项培训都有4个人选择，每人参加两项活动，一共有C24=6种选择。

答题步骤：极端情况为每项培训均有4人选择，共4×6=24人，此时该单位再增加1名党员就能保证至少有5名党员参加同一培训，故单位至少25名党员。答案选C。

三、反向构造

反向构造适用于多集合问题求解最值，通常是求四集合问题的最值。多集合求解最值对于很多同学而言比较困难，不知如何下手？下面介绍反向构造问题的判别和解题思路，帮助同学们化繁为简。

典型特征：题干通常给出每个单集合的数量和一个总量，问题通常以“几个都……至少有……”、“几项都不……至多有……”等形式出现。

核心思想：这种集合问题的最值求解通常从正面考虑会很复杂，此时可以从问题的反面考虑极端情况。要求满足条件的最多（少），只要求出满足互补条件的最少（多）量即可。

解题步骤：找出反向构造所求量（否命题）→求出各个单集合的互补元素个数→利用容斥原理求解反向构造量的极值→还原问题。

例：某班45人参加一次数学比赛，结果有35人答对了第一题，有27人答对了第二题，有41人答对了第三题，有38人答对了第四题，则这个班四道题都对的至少有多少人？   

A．5人       B．6人       C．7人        D．8人

【题目解析】

典型特征：总量为45人，单集合的个数分别为答对第1题、第2题、第3题、第4题的人数。

核心思想：如果从正面求解无从下手，于是从反面考虑，即求做错题目总和最多为多少人。

答题步骤：

一、反向构造，4道题没有全对的最多有多少人？

二、互补元素，答错第一题10人，答错第二题18人，答错第三题4人，答错第四题7人。

三、4道题没有全对的最大值，满足没有一个人同时答错两道题，错题人数最多=10+18+4+7=39人

四、还原问题，4道题都答对的学生至少有45-39=6人。答案选B。

（PS小延伸：总结四集合问题的正向求解最值问题）

今日思考：

【例3】共有100个人参加某公司的招聘考试，考试的内容共有5道题，1～5题分别有80人、92人、86人、78人和74人答对。答对3道和3道以上的人员能通过考试，请问至少有多少人能通过这次考试?( )   

A.30         B.55        C.70         D.74

每道题答错的人数分别为：20、8、14、22、26，总共答错的题目数量为90人。

为使通过考试的人最少，则不通过考试题目最多，此时答错3道题没有交集，答错3道题目的人数为90/3=30人。

所以至少通过考试的人数为100-30=70人，答案选C。