《二次函数最值问题》教学设计

数学组   禄丽佳

 

一、教学内容分析

本节课是北师大版必修1第二章《函数》第四节《二次函数性质的再研究》的延伸，之所以延伸是因为二次函数在闭区间上的最值是高中数学中的重点内容，也是困扰学生的一个难点和教师教学的一个难点。这是因为在解题过程中渗透着学生不太容易掌握的分类讨论、数形结合等重要的数学思想方法。而学生在初中已经学过二次函数的简单性质与图像，在前几节课中对函数的单调性与最大（小）值也有了一个初步的认识。 遵循由浅入深、循序渐进的原则，本节课实质上是对前面所学知识的综合应用，从而实现对所学知识的螺旋式上升。

二、教学目标

1.知识与能力：初步掌握解决二次函数在闭区间上最值问题的一般解法，总结归纳出二次函数在闭区间上最值的一般规律，学会运用二次函数在闭区间上的图像研究和理解相关问题。

2.过程与方法：通过实验，观察影响二次函数在闭区间上的最值的因素，在此基础上讨论探究出解决二次函数在闭区间上最值问题的一般解法和规律。

3.情感、态度与价值观：通过探究，让学生体会分类讨论思想与数形结合思想在解决数学问题中的重要作用,培养学生分析问题、解决问题的能力，同时培养学生合作与交流的能力。

三、教学重点与难点

教学重点：寻求二次函数在闭区间上最值问题的一般解法和规律。

教学难点：含参二次函数在闭区间上的最值的求法以及分类讨论思想的正确运用。

四、学生学情分析

我所代班级的学生是高一新生， 他们在初中已学过二次函数的简单性质与图像，知道二次函数在 时在顶点处取得最大值或最小值，在前几节课又学习了函数的概念与表示、单调性与最值的相关知识，已经具备了本节课学习必须的基础知识。

五、教法分析

根据教学实际,我将本节课设计为数学探究课，在探究的过程中，借助于多媒体教学手段,让学生观察几何画板中的动态演示，通过对二次函数图像的“再认识”，探究二次函数在闭区间上的最值。同时为了配合多媒体的教学，准备了学案让学生配套使用。先让学生提前预习相关内容，对所要探究的问题有初步的了解，再在课堂上详细的探究，课后在学案上有相应的课后作业题让学生巩固所学知识。

六、教学过程

（一）复习旧知

回忆二次函数的图像与性质：

1.      图像:

2.      定义域:

3.      单调性:

4.      最值:

 

【设计意图】复习旧知，引入新课。

 

（二）自主探究

探究1：定轴定区间最值问题

分别在下列范围内求函数f(x)=x2-2x-3的最值：

 

    

 

规律总结：作出二次函数的图像，通过图像确定函数在给定区间上的最值。

 

【设计意图】

通过探究1，让学生讨论探究定函数在定区间上最值的求解方法，并通过二次函数在闭区间上图像直观形象地观察、分析问题和解决问题。

 

（三）合作探究（含参二次函数最值求解问题 ）

探究2：动轴定区间最值问题

求函数f(x)=x²-2tx-3, t∈R在x∈[-2,2]上的最小值。

 

 

【设计意图】

通过探究2，让学生讨论探究动轴定区间上最小值的求解方法，并通过动态演示二次函数在闭区间上的图像，让学生直观形象地观察、分析问题和解决问题。

 

变式训练：求函数f(x)=x²-2tx-3在x∈[-2,2] ,t∈R上的最大值。

 

【设计意图】

     通过变式训练，让学生进一步体会动轴定区间上最大值的求解方法，同时归纳出动轴定区间最值问题求解的一般规律。

 

规律总结：移动对称轴，比较对称轴和区间的位置关系，再结合图像进行进行分类讨论，

注意做到“不重不漏”。

探究3：定轴动区间最值问题

求函数f(x)=x²-2x-3在x∈[t,t+2],t∈R的最小值。

 

 

【设计意图】让学生分组讨论探究3的求解方法，使学生体会运动的相对性，从而类比探究2的过程与方法可以制定出解决问题3的方法。

 

 

变式训练：求函数f(x)=-x²+2x-3在x∈[t,t+2], t∈R的最大值.

 

【设计意图】

     通过变式训练，让学生进一步体会定轴动区间上最大值的求解方法，同时归纳出定轴动区间最值问题求解的一般规律。

 

规律总结：移动区间，比较对称轴和区间的位置关系，再结合图像进行分类讨论，注意做到“不重不漏”。

 

（四）知识小结

本节课研究了二次函数的三类最值问题:

(1) 定轴定区间最值问题； (2) 动轴定区间最值问题； (3) 定轴动区间最值问题.

核心思想是判断对称轴与区间的相对位置， 应用数形结合、分类讨论思想求出最值。

【设计意图】

归纳总结二次函数问题在闭区间上最值的一般解法和规律，完成本节课知识的建构。

（五）结束语

数缺形时少直观，形少数时难入微.数形结合百般好，割裂分家万事休！

——华罗庚

 

【设计意图】

借助名人名言再次强调数形结合思想的重要性。

 

(六)课后作业

1.分别在下列范围内求二次函数f(x)=x²+4x-6的最值。

 

2. 求函数f(x)=x²+2tx+2,t∈R在x∈[-5,5]上的最值。

3. 求函数f(x)=x²-2x+2在x∈[t,t+1], t∈R的最小值。

 

【设计意图】

学生应用探究所得知识解决相关问题，进一步巩固和提高二次函数在闭区间上最值的求解方法与规律。

七、教学反思