反比例函数复习

                            下冶二中 蔡蕊

教学目标：

1、复习反比例函数的概念，会求反比例函数的表达式并能画出图像。

2、复习反比例函数图象的变化及其性质并能运用解决实际问题。

引入：本节我们继续复习反比例函数这章，首先回忆这章的整体框架：

知识点1   反比例函数的概念

知识点2   确定反比例函数的关系式

知识点3   反比例函数的图像及画法

知识点4   反比例函数的性质

知识点5   反比例函数中比例系数k几何意义

知识点6   反比例函数的应用

复习演练：

1、判断下列函数是不是反比例函数：

（1）y=3/x        （2）y=-0.5x  （3）y=2/x-3

（4）y=3.14/x     （5）y=-4/x2   （6）y=1/3x

知识点1   反比例函数的概念

一般地，形如y = k/x (k为常数，k≠0)的函数叫做反比例函数．其中x是自变量，y是x的函数，k是比例系数.

注：判断一个函数是否是反比例函数，关键是看两个变量的乘积是否是一个常数.

知识点2   确定反比例函数的关系式

1.确定实际问题中的反比例函数关系式

关键：认真审题，弄清题意，找出等量关系

2.用待定系数法确定反比例函数关系式

反比例函数的三种表达形式

 

 

知识点3   反比例函数的图像及画法

让同学们回忆反比例函数y=6/x和y=-6/x的图像和画法，教师提问：图像分别位于的象限，以及对称性，后用多媒体展示

反比例函数的图象是双曲线.

当k＞0时，双曲线的两支分别在第一、三象限；关于 y=-x 轴对称

当k＜0时，双曲线的两支分别在第二、四象限．关于y=x轴对称

双曲线的两支关于坐标原点成中心对称.

知识点4   反比例函数的性质

当k＞0时，双曲线的两支分别在第一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小；

当k＜0时，双曲线的两支分别在第二、四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大．

基础再现：

1. 若函数             是反比例函数，则m2+3m+1=          .

2.如果反比例函数  y=1-4m/x  的图象位于第二、四象限，那么m的范围为      .

3、已知点A(2,y1)， B（5,y2)是反比例函数y=4/x 图象上的两点．请比较y1,y2的大小．

如果再加上点C（-3,y3)，如何比较大小呢？方法有多少种？

知识点5   反比例函数中比例系数 k的几何意义

练习：

1.如图,点P是反比例函数y=2/x图象上的一点,PD⊥x轴于D.则△POD的面积为    .

2.如图，点A、B是双曲线y=3/x上的点，分别经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段，若阴影面积为1，,则s1+s2=     

知识点6   反比例函数的应用

1. 如图一次函数y1＝x－1与反比例函数y2＝2/x   的图像交于点A(2,1),B(－1,－2),则使y1 ＞y2的x的取值范围是(    )

A.x＞2                 B. x＞2 或－1＜x＜0 

C. －1＜x＜2               D. x＞2 或x＜－1

2. 如图，已知A(-4，2)、B(n，-4)是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点.

(1)求此反比例函数和一次函数的解析式；

(2) 根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围.

变形：如图，已知A(-4，2)、B(n，-4)是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点.连AO、BO，求S△AOB

3、为了预防“甲流”，某校对教室采用药熏消毒法进行消毒。已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量 y（mg）与时间x(min)成正比例，药物燃烧完后，y与x成反比例。现在测得药物8min燃毕，此时室内空气中每立方米含药量6mg，请根据题中所提供信息，解答下列问题：

（1）药物燃烧时，y关于x的函数关系式               ，自变量x的取值范围                   ，药物燃烧后y关于x的函数关系式               ；

（2）研究表明，每立方米的含药量低于1.6mg时，学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要经过         分钟后，学生才能回教室；

4、如图所示，点A是反比例函数的图象上一点，AB垂直x轴的正半轴于B点，C是OB的中点；一次函数的图象经过A、C两点，并交y轴于点D(0,-2)，若

（1）求反比例函数和一次函数的解析式；

（2）观察图象，请指出在y轴的右侧，当  时，x的取值范围．

课堂小结：

本节有何收获？

1、在一次函数、反比例函数的图象组合图形的面  积计算要注意选择恰当的分解方法.

2、在函数图形中的面积计算中，要充分利用好横、  纵坐标.

3、各种数学思想理解：归类思想、探究思想、转化思想、数形结合思想…….

课后作业：

如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=m/x的图象交于 A(-2,1),B(1,n)两点．

（1）试确定上述反比例函数和一次函数的表达式；

（2）求⊿AOB的面积．

 

                                             反比例函数复习课

                                                                 代峪二中    刘丽芳

一、教学目标：

  知识与技能 

理解反比例函数、图象及其主要性质，能根据所给信息确定反比例函数表达式，画出反比例函数的图象，并利用它们解决简单的实际问题。

过程与方法 

经历探索反比例函数的概念、性质、图象的过程，把数学与实际问题结合。

情感、态度与价值观

初步了解数学在实际生活中的应用，增强应用意识，体会数学的重要性。

二、教学重点、难点：

重点：1.、能根据所给信息确定反比例函数表达式，画出反比例函数的图象，并利用它们解决简单的实际问题。

2、反比例函数的图象特点及性质的探究

3、通过观察图象，归纳总结反比例函数图象

难点：1、理解反比例函数的概念；

2、从反比例函数的图像中归纳总结反比例函数的主要性质；

3、反比例函数的应用。

三、教学过程

（一）、有关概念

1、学生回顾反比例函数在有关概念及形式？

一般地，如果两个变量x，y之间的关系可以表示成y= （k为常数，k不等于0）的形式，那么称y是x的反比例函数.从y= 中可知，x作为分母，所以不能为零。还有等价形式：xy=k，y=kx-1 。

2、练习：

（1）、下列函数中哪些是反比例函数?

 

 

通过三个题的练习更加深了学生对反比例函数形式的掌握以及等价形式xy=k，y=kx-1 的掌握。

  （二）、反比例函数的图象和性质:

反比例函数  

k的取值范围  

 

图象  

性质 ① 的取值范围是，的取值范围是 

②函数图象的两个分支分别在第一、三象限，在每一个象限内随的增大而减小

① 的取值范围是，的取值范围是 

②函数图象的两个分支分别在第二、四象限，在每一个象限内随的增大而增大

注意：（1）反比例函数是轴对称图形和中心对称图形；

（2）双曲线的两个分支都与轴、轴无限接近，但永远不能与坐标轴相交；

练习

1、函数         的图象位于第      象限，

  在每一象限内，y的值随x的增大而      ，

  当x＞0时，y   0，这部分图象位于第    象限。

（考察增减性，找学生提问，要求快速的画出图像并回答，利用数形结合的思想）。

2、若点(-m，n)在反比例函数       的图象上，那么下列各点中一定也在此图象上的点是（    ）

A. (m，n)    B. (-m，-n)     C. (m，-n)       D. (-n，-m) 

3、.若反比例函数的图象过点(-1，2)，则其解析式 为               .

4、如果反比例函数   的图象位于第二、四象限，那么m的范围为        。（考察反比例函数的图像的性质）

（三）、反比例函数系数的几何意义

 

如图，过双曲线上任意一点P作轴，轴的垂线PM，PN，所得矩形的面积为  

∵   ∴  ∴ ，

即过双曲线上任一点作轴，轴的垂线，所得矩形的面积为 

注意：

①若已知矩形的面积为，应根据双曲线的位置确定k值的符号。

②在一个反比例函数图象上任取两点P，Q，分别过P，Q作x轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1，S2，则有S1＝S2。

练习：

1、如图，点P是反比例函数      图象上的一点，PD⊥x轴于D。则△POD的面积为    .  

可以采用两种方法来做：（1）设p点的坐标为（x，y）

                      （2）采用比例系数k的实际意义

让学生感受在求面积的时候可以采用不同的方法来做。

 

和上题一样的思路来做，鉴于上道题老师的讲解，让学生自己来讲解，并加以点评。

 

 

 

让学生感受比例系数k的实际意义，可以采用不同的方法来做。

小结：1.研究反比例函数及其图像时要注意：

  (1)易漏隐含条件(k≠0)；

  (2)研究函数增减性时不分象限，即错误的说：“当k＞0时，y随x的增大而减小；当k＜0时，y随x的增大而增大.” 应将两个分支分别讨论.

  2.过双曲线上任一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积等于｜k｜.所得三角形的面积等于｜k｜的一半．

反比例函数 复习

                大峪一中   杜春霞

【中考知识点】

1.反比例函数意义;   

2.反比例函数图象和性质;

3.与反比例函数有关的面积问题;     

【基础知识梳理】

1.反比例函数的概念

反比例函数y= 中的是一个分式,自变量x≠0,函数与x轴、y轴无交点,y= 也可写成y=kx^-1(k≠0),注意自变量x的指数为-1, 在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数k≠0这一限制条件.

2.反比例函数的图象

在用描点法画反比例函数y= 的图象时,应注意自变量x的取值不能为0,应从1或-1开始对称取点.

3.反比例函数y= 中k的意义

注意:反比例函数y=  (k≠0)中比例系数k的几何意义,即过双曲线y= (k≠0)上任意一点引x轴、y轴垂线,所得矩形面积为│k│.

【教学过程】

一、千里之行，始于足下

1.下列函数中，y是x的反比例函数的是(   )

A.y= +1   B.y=     c.y=     D.xy=4

2.已知反比例函数 的图象上有两点（1，y₁）,（2，y₂），则y₁与y₂的大小关系（      ）

     A.  y₁= y₂     B. y₁< y₂   

    C.   y₁> y₂     D. 无法确定

♦ 形状、位置及增减性

  k≻0

♦ 注意数形结合思想应用

3.已知点A是反比例函数 y=  上的点，过点A作 AP⊥x轴于点P，已知△AOP的面积3，则k的值是（   ）

      A. 6         B. -6     

      C.-3         D.  3

 

 

 

 

二、趁热打铁，大显身手

1、（2011河南）已知点P（a，b）在反比例函数 y= 2/x 的图象上，若点P关于y轴对称的点在反比例函数y= k/x 的图象上，则k的值为______

2、（2010四川南充市）如图，直线 y=x+2与双曲线 y=  相交于点A，点A的纵坐标为3，k的值为（　　）．

         （A）1        （B）2  

         （C）3　　（D）4

3、（哈尔滨市）反比例函数y＝  的图象，当x＞0时，y随 x的增大而增大，则k的取值范围是（   ）．

  （A）k＜3   （B）k≤3     （C）k＞3    （D）k≥3

4、已知点（-1， ）（2， ），（3， ）在反比例函数y= 的图象上. 下列结论中正确的是（         ）

 

 

5、（2011年陕西省）如图，过y轴正半轴上的任意一点P，作x 轴的平行线，分别与反比例函数y＝－    和y＝    图象交于点A和点B．若点C 是x轴上任意一点，连接AC、BC，则△ABC的面积为 (    )

A.3    B. 4    C.5     D.6

 

设计意图：利用等积变化解决问题

 

三、百尺竿头，更进一步

1、（2011年河南）如图，一次函数y₁₌k₁x＋2与反比例函数y₂₌ 的图象交于点A(4，m)和B(－8，－2)，与y轴交于点C．

(1)  k₁₌__             _,    k₂₌               

(2)根据函数图象可知，当y₁>y₂时，x的取值范围是              

(3)过点A作AD⊥x轴于点D，点P是反比例函数在第一象限的图象上

   一点．设直线OP与线段AD交于点E，当S_{四边形ODAC}：S_△ODE＝3：1 

   时，求点P的坐标

 

 

四、挑战自我，再创新高

1.（2012•河南）如图，点A、B在反比例函数y=（k＞0，x＞0）的图象上，过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为M、N，延长线段AB交x轴于点C，若OM=MN=NC，△AOC的面积为6，则k的值为              ．

设计意图：让学生回顾比例系数k的几何意义

2、如图,矩形AOCB的两边位于X轴、Y轴上,点B的坐标为（-  ,5），

D是AB边上的一点，将△ADO沿直线OD翻折，使A点恰好落在对角线

OB上的点E处，若点E在一反比例函数上，则该函数的解析式_____.

 

五．课堂小结

                                         反比例函数（复习课）教学设计

                                        梨林一中  刘冰

一、教材分析

    本章内容属于《课程标准》中的“数与代数”领域，是在学生已经学习了一次函数和二次函数的基础上，再一次进入函数范畴，让学生进一步理解函数的内涵，并感受现实世界存在各种函数以及如何应用函数解决实际问题。反比例函数是最基本的函数之一，为后边研究函数与方程、不等式间的关系奠定了基础。函数本身是数学学习中的重要内容，而反比例函数则是基础函数，因此，本节内容有着举足轻重的地位。

 二、学情分析

本章研究的重点是函数图像与性质，从学生学习情况来看，反比例函数的增减性易与一次函数相混淆，用函数观点看待方程、不等式、函数间的关系在理解上、思维方式上存在一定困难，用反比例函数解决实际问题需要建模的思想与策略，需要一定的生活背景知识，对学生有较高的要求。所以，本次复习以函数中的数形结合思想为立意，重点分析函数图象，使学生在对疑难问题的解决过程中加深对反比例函数。

三、教学目标

（一）知识与技能

1、巩固反比例函数概念，熟练掌握和运用待定系数法求函数解析式；

2、深刻体会数形结合、分类讨论及转化等数学思想在反比例函数问题中的应用；

3、深刻理解反比例函数中k的几何意义，能将反比例函数知识和几何知识联系起来解决问题。

（二）过程与方法

1．发展学生的观察，归纳，猜测，验证能力；

2．体会数形结合、分类讨论及转化等数学思想．

（三）情感，态度与价值观

1．让学生投入到数学探究活动中，发展他们的实践与创新精神；

2．激发学生学习数学的兴趣，获得成功的快乐．

重点：反比例函数在实际问题中的应用；

难点：运用函数的图像与性质解综合题，能够识别图形，从中获得有用信息，灵活运用数学思想方法。

四、教学过程设计

（一）知识梳理

1、函数解析式及解析式中k的意义

y= ，变式：y=k ，或k=xy。K的值等于图像上点的横、纵坐标的乘积，它也表示该点与坐标轴围成的矩形的面积。

2、函数图像与性质

     当k>0时，图像分布在第一、三象限，y随x的增大而减小；当k<0时，图像分布在第二、四象限，y随x的增大而增大。（注：学生易将其与一次函数图像与性质的弄混淆。）

3、反比例函数与一次函数的综合

（1）若两图像相交，求交点坐标：让两函数值相等，建立方程。当一次函数过坐标原点时，两函数图像均关于坐标原点中心对称，则它们的交点也关于坐标原点中心对称。

（2）若两函数图像相交，根据函数值的大小关系求对应的自变量的取值范围：要观察图像，确定符合要求的那一部分图像。

（二）典型例题

例1、已知点A(-2，y1)，B(-1,y2)都在反比例函数y= 的图象上，则y1与y2的大小关系(从大到小)为      。 当 -4≤x≤-1时，y的最大值与最小值分别是           。

变式1：已知点A(x1、y1)，B(x2、y2)，C(x3、y3)都在反比例函数  图象上，且x1＜x2 ＜0 ，x3＞0,则y1，y2，y3的大小关系(从大到小)为              。

本例题的设计基于从基本问题出发，从具体数字到字母，从已知自变量变化范围比较函数值大小，从已知函数值大小范围比较自变量大小，层层深入，不断变式，让学生在体情境中掌握学会函数值大小比较，学会从特殊到一般的研究方法，体会借助图象利用数形结合思想解题作用。

例2、如图一次函数y1=k1x+b(k1 0)的图象经过反比例函数 上的点A(1,4)和点B （-2，-2）。

（1）求出一次函数、反比例函数解析式； 

（2）观察图象直接写出方程 的解；

（3）观察图象直接写出y1＜y2,时，x的取值范围是                  。

变式练习：如图，已知A(n，-2)，B(1，4)是一次函数y=kx+b图象和反比例函数y=的图象的两个交点，直线AB与y轴交于点C．

   (1)求反比例函数和一次函数的关系式；

   (2)求△AOC的面积；

   (3)求不等式kx+b-<0的解集(直接写出答案)．

设计利用图象法解方程组与不等式，让学生经历观察、发现、比较、抽象的过程，从而更好认识函数、方程、不等式三者间的联系，开阔学生的思维。

 例3、保护生态环境，建设绿色社会已经从理念变为人们的行动．某化工厂2009年1 月的利润为200万元．设2009年1 月为第1个月，第x个月的利润为y万元．由于排污超标，该厂决定从2009年1 月底起适当限产，并投入资金进行治污改造，导致月利润明显下降，从1月到5月，y与x成反比例．到5月底，治污改造工程顺利完工，从这时起，该厂每月的利润比前一个月增加20万元（如图）．

（1）分别求该化工厂治污期间及治污改造工程完工后y与x之间对应的函数关系式．

（2）治污改造工程完工后经过几个月，该厂月利润才能达到2009年1月的水平？

（3）当月利润少于100万元时为该厂资金紧张期，问该厂资金紧张期共有几个月？

 

函数是研究现实世界变化规律的重要内容和数学模型．设计反比例函数应用问题，让学生经历问题情境→建立模型→求解的过程，同时进一步体会数形结合思想的价值。

（三）作业

    1、 如图，已知A(n，-2)，B(1，4)是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数y=的图象的两个交点，直线AB与y轴交于点C．

  (1)求反比例函数和一次函数的关系式；

  (2)求△AOC的面积；

  (3)求不等式kx+b-<0的解集(直接写出答案)．

   2、如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，顶点A，C分别在坐标轴上，顶点B的坐标为（4，2）．过点D（0，3）和E（6，0）的直线分别与AB，BC交于点M，N．

（1）求直线DE的解析式和点M的坐标；

（2）若反比例函数（x＞0）的图象经过点M，求该反比例函数的解析式，并通过计算判断点N是否在该函数的图象上；

（3）若反比例函数（x＞0）的图象与△MNB有公共点，请直接写出m的取值范围．

（四）自我评价

 1、(1)这节课主要复习的内容、方法有哪些？(2)你还有哪些收获？

 2、分享收获 一个核心：数形结合思想(用数表达,用形释义)

五、教学设计理念

    通过对图象的研究和分析可以确定函数本身的性质，这体现的是数形结合的数学思想方法，数形结合思想是数学中最重要的思想之一。而数形结合的思想早在学习数轴、平面直角坐标系时就已经学习到了。结合本章内容可以进一步对数形结合的思想方法顺其自然地理解，并逐步加以灵活运用，发挥从数和形两个方面共同分析解决问题的优势。  

课题：反比例函数复习

                                                  邵原二中    李迎迎

课时：1课时

课型：复习课

目标：

1、经历抽象反比例函数概念的过程，领会反比例函数的意义，理解反比例函数的概念

2、培养学生从函数图象中获取信息的能力，探索并理解反比例函数的主要性质性质。

重点：反比例函数的概念及性质

难点：反比例函数k的几何意义

教学过程：

一、 知识回顾

考点一:反比例函数的定义

什么是反比例函数？

一般地，形如  ( k是常数, k  0 ) 的函数叫做反比例函数。

注意：（1）常数 k 称为比例系数，k ；

（2）自变量 x 次数是 -1；

（3）解析式有三种常见的表达形式： ， ， xy = k（ ）

1、（1）下列函数，① ②     ③ ④ ⑤y = 3x ⑥ ⑦ ⑧ ；其中是y关于x的反比例函数的有：_________________。

设计意图：通过多个函数的辨析，使学生能够正确理解反比例函数的概念，准确区别各种函数。

 

2、. 若                   是反比例函数，                           

则m＝＿＿＿＿＿＿．

设计意图：使学生掌握k  0和未知量的指数为-1应同时满足

 考点二:反比例函数的图像与性质

 

1、你能回顾与总结反比例函数的图象性质与特征吗？（师提问，学生个别作答）

 

 

 

 

 

 

 

函数		反比例函数
解析式
图象形状
k>0	位置	双曲线两分支分别在 第一、第三象限
	增减性	在每一个象限内y随x的增大而减小
k<0	位置	双曲线两分支分别在 第二、第四象限
	增减性	在每一个象限内y随x的增大而增大

设计意图：通过表格提问让学生全面掌握反比例函数图像和性质。

1、已知反比例函数  的图象上有两点（1，y₁）

   （2，y₂），则y₁与y₂的大小关系（      ）

 

     A.  y₁= y₂     B. y₁< y₂   

    C.   y₁> y₂     D. 无法确定

 

设计意图：考察k>o时 反比例函数在第一、三象限，在每一个象限内y随x的增大而减小 。

 

设计意图：考察一次函数和反比例函数增减性。