从特殊到一般的探究解题方法

梨林一中  李利静

数学是一门充满乐趣、充满奥妙、充满探索的学科。数学是对思维的一种挑战，特别是几何图形，更是变幻无穷。现在为大家介绍一种方法——从特殊到一般的探究解题方法，它可以让你更快、更有效地求出几何图形每一个角的度数。

下面为大家介绍一道这一类型题的例子：

例:如图，∠ACB=90°，D、E在AB上且AD=AC，BE=BC，求∠DCE的度数。

A

B

D

C

E

首先从“特殊”入手，任意设一个角度。                            

解：设∠A为30°。                          

    ∵∠ACB=90°，∴∠B=90°-30°=60°                                  

    ∵AD=AC，∴∠ACD=∠ADC= （180°-30°）=75°

    ∵BE=BC，∴∠BEC=∠BCE= （180°-60°）=60°

    ∴∠DCE=75°+60°-90°=45°                                 

仅仅设一个特殊角是不够的，我们还要设另一个角度，以此证明它的特殊性。

解：设∠A为40°。

    ∵∠ACB=90°，∴∠B=90°-40°=50°

    ∵AD=AC，∴∠ACD=∠ADC= （180°-40°）=70°

    ∵BE=BC，∴∠BEC=∠BCE= （180°-50°）=65°

    ∴∠DCE=70°+65°-90°=45°

由此我们猜想不管设∠A为什么锐角，结果都是∠DCE=45°，既然这样，我们就把∠A设为一个具有代表性的角度a，从“一般”入手。

解：设∠A为a。

∵AD=AC，

∴∠ACD=∠ADC= （180°-a）=90°- a

∠B=180°-90°-a=90°-a

∵BE=BC， 

∴∠BCE=∠BEC= [180°-（90°-a）] =45°+ a

∵∠ACD+∠BCE-90°=∠DCE

∴∠DCE=90°- a+45°+ a-90°=45°

 

    其实几何并没有那么可怕，其实只要掌握一定的窍门，我们就能轻松地攻破数学这道难关了。数学世界远不只“从特殊到一般”这种探究方法，只要我们平时多留心、多动手、多思考，就能把许多探究方法挖掘出来，在数学世界里自由翱翔！

 

 

从特殊到一般的数学思想方法在教学中的应用

思礼初中  姚未娟

从特殊到一般的数学思想方法在数学课堂教学中应用的非常广泛，尤其在代数部分应用更多，掌握好这种数学思想方法，可以让学生轻松掌握法则等。

在第十六章二次根式的乘除这两课时，都用到了从特殊到一般的数学思想方法。在本节课的教学过程中，教师出示课本上探究部分的三组算式，（1）                      

（2）                                                                                                                （3）

 

学生自己计算结果，观察，分小组讨论，全班交流，引导学生发现和总结式子有什么规律，指几名学生回答，其余学生补充。然后让学生自己再举几个例子，学生发现这个规律依然成立。然后教师展示几组二次根式是无理数的式子，（1）

（2）    （3） ，用计算器进行计算，发现结论依然成立。然后引导学生归纳二次根式的乘法法则， 。在这个教学过程中就用到了从特殊到一般的数学思想方法。通过观察特殊的例子，从而总结出一般的结论，让学生探究发现的基础上得到结论，而不是简单的记忆结论，这样更有利于学生掌握知识，培养学生热爱数学的情感，激发学生学习的动机。在今后教学中更要恰当运用这种方法 。

如何在课堂教学中渗透从特殊到一般的数学思想

——二次根式性质的探究

                  邵原一中     李亚丽

作为一名教师，每天的课堂教学我们总是在有意或无意的渗透着数学思想方法。美国教育心理家布鲁纳指出：掌握基本的数学思想方法，能使数学更易于理解和更利于记忆，领会基本数学思想和方法是通向迁移大道的“光明之路”。在人的一生中，最有用的不仅是数学知识，更重要的是数学的思想方法和数学的意识，因此数学的思想方法是数学的灵魂和精髓。掌握科学的数学思想方法对提升学生的思维品质，对数学学科的后继学习，对其它学科的学习，乃至对学生的终身发展都具有十分重要的意义。数学思想有数形结合思想，分类讨论思想，方程思想，转化思想，模型思想等等。本篇文章重点讨论在探究二次根式的性质中渗透从特殊到一般的数学思想。

在2015年河南省中招考试中22题就体现了从特殊到一般的数学思想， 在问题发现中，就两种特殊的情况进行求值；然后在拓展探究中研究角在0度到360度范围内变化时，AE与BD的比例有无变化这种一般情况进行讨论。

接下来就二次根式的性质这一节来说一下是如何渗透和体现从特殊到一般的数学思想。

探究一：

根据算术平方根的意义填空，并说出得到结论的依据.

 

学生独立完成填空后，让学生展示其思维过程，说出得到结论的依据，学生通过计算或根据算术平方根的意义得出结论，为归纳二次根式的性质1作铺垫．

问题从以上的结论中你能发现什么规律？你能用一个式子表示这个规律吗？被开方数有什么限制条件？

学生归纳得出二次根式的性质： （ ≥0）

在此探究一过程中，让学生经历从特殊到一般的过程，概括出二次根式的性质1，培养学生抽象概括的能力.

探究二

根据算术平方根的意义填空，并说出得到结论的依据.

=， =， =， =.

学生独立完成填空后，让学生展示其思维过程，说出得到结论的依据．学生通过计算或根据算术平方根的意义得出结论，为归纳二次根式的性质2作铺垫．　从以上的结论中你能发现什么规律？你能用一个式子表示这个规律吗？

引导学生归纳得出二次根式的性质： （ ≥0）让学生经历从特殊到一般的过程，概括出二次根式的性质2。

   在探究二次根式的两个性质中，让学生归纳猜想出一般的性质，运用了从特殊到一般的思想。在实际教学中，我们要深入钻研教材，努力挖掘教材中可以进行数学思想方法渗透的各种因素，把握好课堂教学中进行数学思想方法渗透的契机，根据中学生的心理特征、接受能力，采用相应的教学手段，使学生逐步掌握现代数学思想方法，从而发展学生的思维能力和创新能力。

 

 

 

浅谈如何在课堂上渗透特殊与一般的数学思想

——以《勾股定理》和《平行四边形》为例

大峪三中 王晨忆

数学是思维的体操，学习数学则更多的是为培养学生良好的数学素养。学生良好的数学素养是对数学资源和数学思想的有机结合,前者属于“有形”资源成为数学学习者的必要工具和重点对象,然而对于“无形”数学思想的领会必然要通过老师在课堂的正确引导才能有效渗透到学生的数学学习中,也将成为提高学生综合数学素养的必然途径。

“从特殊到一般”和“从一般到特殊”的思想是众多数学思想中唯一体现互逆特点的。例如，在《勾股定理》的第一节中，揭示其定理的由来及证明的过程恰是对“从特殊到一般”思想的诠释。教学中从毕达哥拉斯地板砖的引入，对特殊三角形——等腰直角三角形的探究（如图甲），再引发对一般直角三角形的探讨（如图乙），从不完全归纳得出的猜想到严格的演绎推理论证的结论，无可厚非，从特殊到一般的数学思想起到了抛砖引玉的作用。

 

再譬如，接下来的第十九章《平行四边形》则逆向地揭示了“从一般到特殊”的思想。教学中先从一般的四边形入手，后转到特殊的四边形——平行四边形，对于平行四边形又从三个特殊的角度着手：（1）角特殊的平行四边形——矩形；（2）边特殊的平行四边形——菱形；（3）边、角均特殊的平行四边形——正方形。

“从特殊到一般”和“从一般到特殊”的思想看似平淡无奇却又无处不在，它更好地体现了数学来源于生活，又运用于生活。教师在教学过程中不妨设置阶梯式的问题，启发学生更好的思考，从而更好地锻炼学生的思维。http://s5/mw690/0066d3utgy705umEWe8f4&690

 

如何在课堂上渗透从特殊到一般的数学思想

坡头初中  苗文敏

在初中数学学习中，会渗透很多种数学思想，而从特殊到一般和从一般到特殊的数学思想是很常见的。

在研究几何图形时，体现从一般到特殊的思想比较多，比如从等腰三角形的性质和判定到等边三角形的性质和判定，从平行四边形的性质与判定到特殊的平行四边形矩形、菱形的性质和判定。

但是依然存在从特殊到一般的数学思想。比如我们在研究等腰三角形的性质时，我们已经知道等腰三角形的两腰相等，让学生通过观察和度量，猜想等腰三角形还有哪些性质：等腰三角形的两底脚相等，然后让学生证明这些性质，最后学习特殊的等腰三角形等边三角形；通过学习等腰三角形，学生已经掌握了研究等腰三角形性质的思路：观察、测量—猜想—证明—应用。通过这一次研究，让学生知道这就是研究基本几何图形的的基本研究思路，从而推广到其他的几何图形的研究。

在平方差公式和完全平方公式的推倒过程中也用到从特殊到一般的数学思想。

下面以平方差公式为例加以说明：

先给出一些例子

(x+1)(x-1)

(m+2)(m-2)

(2x+1)(2x-1)

(2x+5y)(2x-5y)

1、    计算上面算式并观察，它们有什么共同特征？

2、    运算出来结果后，你有什么发现？

3、    再举例验证一下你的发现是否正确

4、    请用一个公式来表示你发现的规律

(a+b)(a-b)=a­­²-b²

在得到结论之后，就可以运用平方差公式进行计算，这里的a和b可以是数，可以是字母，也可以是代数式。

从这几个算式总结归纳出平方差公式，然后运用到其他的这种形式的计算中，使得计算变得简便。

 

从特殊到一般的解题方法

梨林一中贺亚会

从特殊到一般的数学思想方法，即先观察一些特殊的事例，然后分析它们共同具有的特征，作出一般的结论。新《数学课程标准》指出要发展学生的符号感，其中符号感的一个主要表现是要求学生能从具体情境中抽象出数量关系和变化规律，并用符号来表示，而列代数式是实现这一目标的具体途径。

以初二上册第26页的数学活动《多边形覆盖平面问题》为例。

首先引入用地砖铺地，用瓷砖贴墙等问题情境，并把这些实际问题转化为数学问题：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖。下面我们来探究一些多边形能否镶嵌成平面图形。

引入：我们经常见的地板是用什么图形拼成的？

问题一：我们脚下的地板是用正方形拼成的，那么任意的四边形都可以镶嵌成一个平面图形吗？

任意的四边形的四个内角的和是360，所以4个全等的四边形的四个内角可拼成360^。，所以可以拼。

问题二：我们还见过用正三角形可以镶嵌成一个平面图形，用等腰三角形可以吗？任意不等边的一些全等三角形，可以吗？

（1）任意的三角形的三个内角和为180^。，所以6个全等的三角形适当地拼接在同一个点，一定能使这个点为顶点的六个内角的和恰好等于可拼成360^。，所以可拼。

（2）两个全等的三角形沿着一条等边可拼成四边形，这样就把三角形的问题转化为四边形问题，并且四边形是可以拼成一个平面图形的，所以任意不等边的一些全等三角形可以。

问题三：全等的三角形、四边形可以拼成一个平面图形，那全等的五边形、六边形、七边形、……、任意的n边形 (n>4) 呢？

问题四：哪些正多边形可以拼地板?（从特殊图形的角度出发）

正三角形、正四边形显然可以，而正五边形、正六边形、正七边形、……，任意的正n(n>4)呢？

设正n边形可以拼地板，正n边形的每个内角为 12 （n-2）×180°÷n'> 。而360应为每个内角度数的整数倍，即 为整数。

当n=3时， ；

当n=4时， ；

当n=5时， 是非整数；

当n=6时， ；

当n继续增大时，           逐渐减小，但可知当n>6时           ，而

 

2与3之间没有整数。所以n>6的正n边形，不能拼地板。

总之，在数学学习中，从特殊到一般的数学思想，本质就在于通过验证特殊值合情推理得到数学结论，进行由简单到复杂，由特殊到一般的推广，进而培养学生的逻辑思维和创新能力。

 

如何在课堂上渗透从特殊到一般的数学思想

                                                         梨林一中  白亚莉

学生数学学习和数学思想的培养和数学方法的应用有着紧密的联系。在数学知识的归纳过程中，从特殊到一般的数学思想方法是数学发现和数学创造过程中非常重要的一面，对于数学教育更为重要。在新课程的教育教学过程中，学生通过自主探究、合作交流得到解决问题的结论。在此过程中，学生充分发挥自己的能力，有利于在今后遇到此类问题，可以先进行特殊情况的讨论，再化归为一般的思路，从而提高学生分析问题的能力。数学课的归纳过程不仅让学生体会知识获得的过程，而且增加了数学课堂的深度，让数学学习的方法和思路更加鲜明。创造问题情境，充分利用各种手段，设计教学问题，让学生通过图形观察和对实际问题的演算，从直观印象到发现、猜想和归纳，然后进行验证及理论证明，从而使学生亲历数学建构过程，逐步掌握认识事物的方式和方法，培养创造能力，提高数学素养。如何有效地利用教材，扩大学生的知识容量和思维容量，在教学过程中，根据研究的数学对象，一般要经历“背景资料—概念与表示—性质—联系和应用”的过程，从特殊到一般的思维方式是得出结论的重要方法。

利用《二次根式的乘法》教学过程具体说明：

在导入过程中，把二次根式作为一个特殊的实数，从特殊引导到一般实数的运算思路。“如果a是一个非负数，那么 就是非负数a的算术平方根，也是一个实数，那么二次根式这一类实数满足一般实数的运算法则吗？实数的加、减、乘、除运算顺序和运算律是否能应用于二次根式的运算呢？”

学生从特殊计算的探究，得出一般的数学规律。首先设计特殊的能开得尽方的被开方数，学生很容易能计算出来，并观察得出结论。其次，设计被开方数是不能开得尽方的数，学生通过计算器演算得出结论。再次，得出一般的规律，进而用字母来表示规律，表示一般的结论。例：1、计算（1） ， ；（2） ， ；

（3） ， ；你发现了什么？

2、计算：（1） ， ；（2） ，

你能总结出什么规律？

老师总结：（1）被开方数都是正数，

（2）两个二次根式的乘法等于一个二次根式，并且把这两个二次根式中的数相乘，

作为等号另一边二次根式中的被开方数。

（3）一般地，二次根式的乘法法则是 = （a ， ）

    学生在自主探究的过程中发现规律，运用类比思想，由特殊到一般地，采用不完全归纳的方法得出二次根式的乘法法则。要求学生用数学语言和文字分别描述法则，以培养学生的符号意识。

接着，让学生运用法则进行简单的二次根式的乘法运算，以检验法则的掌握情况。乘法法则反过来就是积的算术平方根的性质，性质是为运算服务的，积的算术平方根的性质将积的算术平方根分解成几个因数或因式的算术平方根的积，利用整式的运算法则、乘法公式等可以简化二次根式，培养学生的运算能力。

在例2的教学过程中，根据学生对例（1）的理解，师生合作总结根式运算的最后结果，一般被开方数中有开得尽方的因数或因式，应依据二次根式的性质将其移出根号外。通过特殊例题的运算，培养学生的运算能力，明确二次根式化简的方向。知道积的算术平方根的性质可以进行二次根式的化简。

例3的教学过程，让学生首先计算前两题，总结做题规律，再由特殊的数字运算上升到

一般的“根号下为字母的二次根式”的运算。引导学生及时总结，强调利用运算律进行运算，利用乘法公式简化运算。让学生认识到，二次根式是一类特殊的实数，因此满足实数的运算律，关于整式运算的公式和方法也适用。

    总结本节课时，注意引导学生说明二次根式的乘法法则是如何得出的，与实数运算有哪些联系。设计习题时，设计一些化简，如 ，让学生进一步体会二次根式是特殊的实数，实数的相关运算法则也适用于二次根式。

总而言之，在数学教学中，从特殊情况出发，推出一般情况的结论的思想方法在初中教学中是随处可见的，是解题过程中非常重要的方法，比如去年中考的第22题。特殊情况比较容易猜想出结论，学生学习数学的自信心就会倍增，同时向一般情况进行探讨，这样既符合新课程理念，也让学生对数学产生良好的情感与态度，由易到难，符合学生的认知规律，通过对问题的参与与自我尝试，从而有利于培养独立思考的品质和探索精神，有利于分析问题解决问题的能力的真正提高。

如何在课堂上渗透从特殊到一般的数学思想

大峪一中   李亚娟

新数学课程标准提出的总体目标之一是让学生“获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的基本的数学思想方法”。从某种意义上讲，数学思想方法的教学甚至比传授知识更重要。因为思维的锻炼不仅对学生在某一学科上有益，更使其终生受益。在教学中适时渗透数学思想方法将对培养学生可持续发展的能力有极大的好处，正适合方兴未艾的“素质教育”，其教学潜在价值更是不可估量的。在实施新课程标准的今天，教师首先要更新观念，从思想上不断提高对渗透数学思想方法重要性的认识，在课堂教学的各环节中有效渗透一些基本的数学思想方法。

从特殊到一般的数学思想方法，即先观察一些特殊的事例，然后分析它们共同具有的特征，作出一般的结论。如何有效地利用教材，扩大学生的知识容量和思维容量，以新课标为指导，以问题情境——建立模型——实验探究——理论归纳——实践应用为基本要素的教学模式，在探究过程中，从特殊到一般的思维方式是得出结论的一个重要的数学思想方法。我认为可以从以下几个方面在课堂上渗透从特殊到一般的数学思想方法：

一、  在概念的初步引入时

例如：学生之前已经学过一元一次方程的概念及其解法，那么在学习二元一次方程的概念时，就可以从一元一次方程的概念及解法入手。

问题1：观察  和 ， 说说这两个代数式的区别。

问题2：一元一次方程的定义：只含有一个未知数,且含有未知数的最高次项的次数是一的等式,叫一元一次方程。   

请结合一元一次方程的定义尝试给二元一次方程组下定义。 

归纳总结：二元一次方程是指含有两种未知数,并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程,叫二元一次方程。

分析：这个教学设计，通过举出一个二元一次方程的特例，同时对比一元一次方程的概念，运用从特殊到一般、类比归纳的数学方法引导学生认识二元一次方程的概念，为二元一次方程组的学习奠定基础。

学生不是一张白纸，不是空着脑袋走进课堂的。教师应抓住新旧知识之间的联结点，创设情境，让学生初步感悟数学的思想方法，为学生搭建有意建构的桥梁，让学生运用从特殊到一般、转化类比的数学思想方法进行合理的正迁移。

二、  在数学定理的探究过程中

例如：八年级下册17.1“勾股定理”这一概念的探究：

1、   

B

A

观察如图所示三个正方形的面积有什么关 系？

 

C

等腰三角形的三边之间有什么关系？

归纳总结1：等腰直角三角形的三边之间有一种特殊的关角边的系：斜边的平方等于两直平方和。

2、    思考：等腰直角三角形有上述性质，那么其它的直角三角形也有这个性质吗？

如图，请计算出图中正方形A、B、C的面积，看看能得出什么结论。

 

 

 

归纳总结2：如果直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么a²+b²=c²。

分析：在这个教学设计片段中，“勾股定理”这一概念的引入，借助数形结合，让学生从特殊的等腰直角三角形开始探索三边关系；然后再用同样的方法进而探究直角三角形的三边关系，最后得出对所以直角三角形都适用的“勾股定理”这一概念的内容，体现了从特殊到一般的数学思想。

数学定理一般比较抽象，教材中一般都直接给出定理内容，略去形成过程，这样给学生的理解造成了一定的困难。所以，我们在教学时应提供概念产生和形成的背景，从特殊情况出发，给学生充分的时间和空间，让学生从特殊情况出发研究猜想，自己归纳领悟一般数学定理的主要内容。

三、  在巩固练习中渗透

例：观察下列等式： ， ， ，……则第n个等式可以表示为 _____________。

分析：学生解类似题目时，就可以从特殊情况入手进行思考、观察、总结，再进行归纳总结，借助这种从特殊到一般的数学思想，很多难题就会迎刃而解。

总之，在数学教学中，从特殊情况出发，推出一般情况的结论的思想方法在初中数学中时随处可见、非常重要的方法。由于特殊情况比较容易猜想出结论，由易到难的过程会增强学生学习数学的自信心，符合学生的认知规律。通过对问题的参与和自我尝试，从而培养学生独立思考的品质和探索精神，有利于学生分析和解决问题的能力得到真正的提高。

从特殊到一般

承留一中 侯富强

从特殊到一般的数学思想方法，即先观察一些特殊的事例，然后分析它们共同具有的特征，作出一般的结论。

新《数学课程标准》指出要发展学生的符号感，其中符号感的一个主要表现是要求学生能从具体情境中抽象出数量关系和变化规律，并用符号来表示，而列代数式是实现这一目标的具体途径。

如用字母表示数，这是中学生学好代数的关键一步，要跨越这一步是有一定的困难的。从算术到代数，思维方式上要产生一个飞跃，有一个从量变到质变的发展过程，学生始终认为“－a是负数”，“两个数的和大于其中任何一个加数”等，这样就要求我们在教学中不断渗透从特殊到一般的数学思想方法，不断强化，逐步完成学生从数到式，由普通语言到符号语言，由特殊到一般，由具体到抽象的飞跃。

在数学中经常使用的归纳法、演绎法就是特殊与一般思想的集中体现。在整式的加法这一节，新课的教授中，用到了从特殊到一般的教学思想。

第一环节：整体进入，类型导航。

问题一：我们知道整式包括单项式和多项式，你能举出几个单项式和多项式的例子吗？

单项式：2a，3a，a²，b，2b²

多项式：x+y，a²b+3a

这些单项式和多项式相加会出现哪些情况呢？你能结合具体例子概括有哪几种类型吗？

第二环节：整式加法法则探究。

根据学生的分类，教师引导由最简单的运算入手，得出探究单+单的方向。结合前面单项式列举几个单+单的例子：

1.2a+3a

2.2a+a²

3.3a+b

4.3a+2b²

问题二：在这些式子中，哪些是可以继续计算的？你能猜想它的结果吗？能说明正确性吗？

从简单例子入手，引导学生猜想结果：

能继续运算的：2a+3a

不能继续运算的：2a+a²  3a+b  3a+2b²  （可能会出现：2a+a²=3a²）

学生想办法验证，并交流。

个例研究：通过代数的方法验证等式是否成立，由于a可以代表任何数，所以a的取值要有代表性，a为正数、负数、零都要考虑到。

代数验证：2a+3a=5a

1.a=2时，因为左边=2×2＋3×2=10，右边=5×2=10所以 2a+3a=5a。

2.2=-2时，因为左边=2×（-2）＋3×（-2）=-10, 右边=5×(-2)=-10  所以2a+3a=5a。

3.a=0时，因为左边=2×0+3×0=0，右边=5×0=0  所以2a+3a=5a。

代数验证：2a+a²=3a²

a=2时，因为左边=2×2＋2²=4+4=8，右边=3×2³=3×8=24    所以2a+a²不等于3a³。

辨析比较：根据首字母及次数总结：

1.2a+3a （字母相同，指数也相同）

2.2a+a²  （字母相同，指数不相同）

3.3a+b   （字母不同，指数相同）

4.3a+2b² （字母不同，指数也不相同）

你还能举出一到两个符合上面类型的例子，并进行验证吗？教师巡视，关注学生的例子不符合要求的及时纠正，收集能合并的单项式例子在黑板上展示。

引导学生得出：两个单项式相加也就是合并同类项的过程，不是同类项的就保留多项式的形式。

归纳法则：按照刚才探究的规律思考，合并同类项遵循了什么样的法则？

合并同类项法则：把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。

小结：单+单法则的探究经历了怎样的思维过程？举例——猜想——验证——归纳。